Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел

У этого термина существуют и другие значения, см. Теорема Лиувилля.

Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел — теорема, устанавливающая, что алгебраические иррациональности не могут слишком хорошо приближаться рациональными числами. А именно: если ${\displaystyle \alpha }$ — алгебраическое число степени ${\displaystyle n>1}$, а ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$ — любые целые числа ${\displaystyle (q\neq 0)}$, то имеет место неравенство

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {C}{q^{n}}}}$

где ${\displaystyle C}$ — положительная константа, зависящая только от ${\displaystyle \alpha }$ и выражаемая в явном виде через сопряженные с ${\displaystyle \alpha }$ величины.

С помощью этой теоремы Лиувилль впервые построил примеры трансцендентных чисел. Таким числом является, например, число, представляемое рядом с быстро убывающими членами, например

${\displaystyle \xi =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n!}}}.}$

Обобщения

При ${\displaystyle n=2}$ теорема Лиувилля дает неулучшаемый результат. Для ${\displaystyle n\geq 3}$ теорема Лиувилля неоднократно усиливалась.

В 1909 году Туэ установил, что для алгебраических чисел ${\displaystyle \alpha }$ степени ${\displaystyle n}$ и ${\displaystyle \nu >{\frac {n}{2}}+1}$ справедливо неравенство

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {C}{q^{\nu }}}}$    (*)

Зигель улучшил результат Туэ, показав, что последнее неравенство выполняется при

${\displaystyle \nu >\min _{s=\{1,\;2,\;\ldots ,\;n-1\}}\left({\frac {n}{s+1}}+s\right)}$, где ${\displaystyle s}$ — целое,

в частности, при ${\displaystyle \nu >2{\sqrt {n}}}$. Позже Ф. Дайсон доказал справедливость этого неравенства при ${\displaystyle \nu >{\sqrt {2n}}}$. Наконец, К. Рот установил, что неравенство (*) справедливо при любом ${\displaystyle \nu >2}$. Результат К. Рота является наилучшим в своем роде, так как любое иррациональное число ${\displaystyle \xi }$, алгебраическое или нет, имеет бесконечно много рациональных приближений ${\displaystyle p/q}$, удовлетворяющих неравенству

${\displaystyle \left|\xi -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2}}}}$.

Все указанные выше усиления теоремы Лиувиля имеют один существенный недостаток — они неэффективны, а именно: методы их доказательства не позволяют установить, каким образом постоянная ${\displaystyle C=C(\alpha ,\;\nu )}$ в неравенстве зависит от величин ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \nu }$.

См. также

• Лиувиллево число

Ссылки

• Michael Filaseta. The Beginning of Transcendental Numbers