Лемма о трезубце

Лемма о трезубце, также называемая леммой о трилистнике и леммой Мансиона, — теорема в геометрии треугольника, связанная со свойствами вписанной, вневписанной и описанной окружностей треугольника.

Лемма о трезубце используется как вспомогательное утверждение при доказательстве многих теорем, в частности, формулы Эйлера или доказательстве существования окружности Эйлера.

Название «лемма Мансиона» было дано в честь бельгийского математика Поля Мансьона. Название же «лемма о трезубце» было дано благодаря сходству с одноимённым оружием ключевой для леммы конструкции (красная на рисунках ниже).

Формулировка

Лемма о трезубце.

Лемма о трилистнике.

Лемма Мансиона.

Пусть у треугольника ${\displaystyle ABC}$ точка ${\displaystyle I}$ — центр вписанной окружности, точка ${\displaystyle I_{a}}$ — центр вневписанной окружности, противоположной вершине ${\displaystyle A}$, а точка ${\displaystyle L}$ — точка пересечения отрезка ${\displaystyle II_{a}}$ с дугой описанной окружности (см. справа). Тогда точка ${\displaystyle L}$ равноудалена от ${\displaystyle I}$, ${\displaystyle I_{a}}$, ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$.

Частные варианты этого утверждения носят различные названия

• Теорема Мансиона^[1]: ${\displaystyle L}$ равноудалена от ${\displaystyle I}$ и ${\displaystyle I_{a}}$.
• Лемма о трилистнике^[2], или лемма о трезубце^[3], или лемма Мансиона^[4]: ${\displaystyle L}$ равноудалена от ${\displaystyle I}$, ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$.
• Лемма о трезубце^[5]: ${\displaystyle L}$ равноудалена от ${\displaystyle I}$, ${\displaystyle I_{a}}$, ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$.

Другой вариант задания точки ${\displaystyle L}$ — как центра дуги ${\displaystyle BC}$ описанной окружности, не содержащей точки ${\displaystyle A}$^[4].

Доказательство

Под ${\displaystyle \angle A,\angle B}$ будем понимать углы ${\displaystyle \angle BAC,\angle ABC}$ соответственно. Если луч ${\displaystyle AI}$ пересекает описанную окружность в точке ${\displaystyle L}$, то ${\displaystyle L}$ является средней точкой дуги ${\displaystyle BC}$, отрезок ${\displaystyle AL}$ является биссектрисой угла ${\displaystyle \angle A}$. Проведя отрезок ${\displaystyle BI}$, заметим, что

${\displaystyle \angle BIL=\angle A/2+\angle B/2,}$

потому что ${\displaystyle \angle BIL}$ внешний к треугольнику ${\displaystyle \triangle AIB}$, а также

${\displaystyle \angle LBI=\angle LBC+\angle CBI=\angle A/2+\angle B/2,}$ потому что ${\displaystyle \angle LBC}$ и ${\displaystyle \angle LAC=\angle A/2}$ равны, так как опираются на одну дугу ${\displaystyle LC}$.

Значит, треугольник ${\displaystyle \triangle BLI}$ равнобедренный, т.е, ${\displaystyle BL=LI.}$ Равенство ${\displaystyle CL=BL}$ следует из того, что на обе эти хорды опирается одинаковый угол ${\displaystyle \angle A/2.}$ Таким образом, ${\displaystyle BL=LI=LC.}$

Мы показали, что ${\displaystyle BL=LI=LC}$. Теперь докажем что «ручка» трезубца ${\displaystyle LI_{a}}$ равна этой же величине.

Продлим сторону ${\displaystyle AB}$ за точку ${\displaystyle B}$ и возьмём где-нибудь на этом продолжении точку ${\displaystyle E}$. Под ${\displaystyle \angle A}$ будем понимать ${\displaystyle \angle BAC,}$ под ${\displaystyle \angle B}$ будем иметь в виду угол ${\displaystyle \angle EBC=180^{\circ }-\angle ABC.}$

Тогда нам нужно понять, что треугольник ${\displaystyle \triangle BLI_{a}}$ равнобедренный, то есть, что ${\displaystyle \angle LBI_{a}=\angle LI_{a}B}$.

С одной стороны,

${\displaystyle \angle LBI_{a}=\angle B/2-\angle A/2}$

и,

так как ${\displaystyle \angle EBI_{a}}$ внешний в треугольнике ${\displaystyle \triangle BI_{a}A,}$ ${\displaystyle \angle B/2-\angle A/2=\angle BI_{a}A}$.

Вариации и обобщения

Внешняя лемма о трезубце

• Лемма о трезубце для двух центров вневписанных окружностей («внешняя» лемма о трезубце)

Связь с окружностью Эйлера

Через лемму о трезубце можно доказать существование окружности Эйлера.

Рассмотрим остроугольный треугольник ABC. Заметим, что четырёхугольники ${\displaystyle AH_{c}HH_{b}}$, ${\displaystyle BH_{c}HH_{a}}$, ${\displaystyle H_{b}HH_{a}C}$ вписаны (рис. 1). Поэтому равны углы ${\displaystyle \measuredangle HH_{b}H_{c}=\measuredangle HAH_{c}=\measuredangle HCH_{a}=\measuredangle HH_{b}H_{a}}$ (рис 2).

рисунок 1

рисунок 2

Из этого следует, что ${\displaystyle H_{b}H}$ — биссектриса в треугольнике ${\displaystyle \triangle H_{c}H_{b}H_{a}}$. По совершенно аналогичным причинам ${\displaystyle H_{a}H}$ и ${\displaystyle H_{c}H}$ тоже биссектрисы в этом треугольнике (рис 3). Также можно заметить, что ${\displaystyle AB,}$ ${\displaystyle BC,}$ ${\displaystyle CA}$ — внешние биссектрисы к треугольнику ${\displaystyle \triangle H_{c}H_{b}H_{a}}$ (потому что каждая из них перпендикулярна своей внутренней биссектрисе). Поэтому можно применить лемму о трезубце трижды, для каждой из сторон (рис 4).

рисунок 3

рисунок 4

Из этого получим, что середины отрезков ${\displaystyle HA,HB,HC}$ лежат на окружности, описанной около ортотреугольника. Теперь трижды применим внешнюю лемму о трезубце (рис 5).

Рисунок 5

Получим, что середины сторон ${\displaystyle AB,BC,CA}$ лежат на окружности, описанной около ортотреугольника.

Замечание

Для того, чтобы доказать существование окружности Эйлера для тупоугольного треугольника ${\displaystyle ABC}$ c тупым углом ${\displaystyle A}$, достаточно рассмотреть остроугольный треугольник ${\displaystyle BCH}$ с ортоцентром ${\displaystyle A}$, и применить к нему те же рассуждения.

См. также

• Формула Эйлера
• Теорема Мансиона
• Вписанная окружность
• Вневписанная окружность
• Инцентр
• Окружность
• Описанная окружность
• Конфигурация Джонсона
• Теорема Фусса