Скалярная кривизна

Скалярная кривизна — два из инвариантов риманова многообразия, получаемый свёрткой тензора Риччи с метрическим тензором. Обычно обозначается ${\displaystyle \mathrm {Sc} }$ или ${\displaystyle \mathrm {R} }$.

Определение

Скалярную кривизну можно определить как след тензора Риччи или как удвоенный след оператора кривизны.

Пользуясь соглашением Эйнштейна, это можно записать через компоненты метрического тензора ${\displaystyle g}$ и тензора Риччи ${\displaystyle \mathrm {Ric} }$

${\displaystyle R=g^{\mu \nu }\,\mathrm {Ric} _{\mu \nu }.}$

Уравнения гравитационного поля

В общей теории относительности функционал действия для гравитационного поля выражается посредством интеграла по четырёхмерному объёму от скалярной кривизны:

${\displaystyle S_{G}=\varkappa \int \limits _{M}R}$

Поэтому уравнения гравитационного поля могут быть получены путём взятия производной Эйлера — Лагранжа от скалярной плотности кривизны ${\displaystyle R}$^[1].

Свойства

• Для двумерных римановых многообразий скалярная кривизна совпадает с удвоенной гауссовой кривизной многообразия.
  • Интеграл от гауссовой кривизны по компактной поверхности равен эйлеровой характеристике поверхности умноженной на ${\displaystyle 2\pi }$ — это утверждение составляет суть теоремы Гаусса — Бонне.

См. также

• Кривизна римановых многообразий
• Задача Ямабе