Свободная частица

Свобо́дная части́ца — термин, используемый в физике для обозначения частиц, которые не взаимодействуют с другими телами и имеют только кинетическую энергию.

Совокупность свободных частиц образует идеальный газ.

Несмотря на простоту определения, в физике понятие свободной частицы играет очень большую роль, поскольку уравнения движения должны прежде всего удовлетворяться для свободных частиц.

Классическая механика

В классической физике свободная частица сохраняет свою скорость, соответственно, сохраняется также импульс. Кинетическая энергия свободной частицы задаётся формулами

• ${\displaystyle E=T={\frac {mv^{2}}{2}}}$, где ${\displaystyle m}$ — масса частицы, ${\displaystyle v}$ — её скорость, в нерелятивистском случае.
• ${\displaystyle E=T={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}-mc^{2}}$, где ${\displaystyle c}$ — скорость света, в релятивистском случае.

Нерелятивистская квантовая механика

Квантовые частицы описываются уравнением Шрёдингера

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta \psi }$,

где ${\displaystyle \psi }$ — волновая функция рассматриваемой частицы, ${\displaystyle \hbar }$ — редуцированная постоянная Планка, ${\displaystyle t}$ — время.

Решения этого уравнения даются суперпозицией волновых функций, которые имеют вид

${\displaystyle \psi _{\mathbf {k} }=A_{\mathbf {k} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -itE/\hbar }}$,

где ${\displaystyle \mathbf {r} }$ — радиус-вектор, ${\displaystyle i}$ — мнимая единица,

${\displaystyle E={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}}$,

${\displaystyle A_{\mathbf {k} }}$ любое комплексное число (размерности м^-3/2).

Волновой вектор ${\displaystyle \mathbf {k} }$ является для свободной квантовомеханической частицы единственным квантовым числом.

Свободная квантовая частица может находиться в состоянии со строго определённым волновым вектором. Тогда её импульс тоже строго определен и равняется ${\displaystyle \mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} }$. В таком случае энергия частицы тоже определённая и равняется ${\displaystyle E}$. Однако квантовая частица может находиться также в смешанном состоянии, в котором ни импульс, ни энергия не определены.

Свободная частица в криволинейных координатах

Гамильтониан свободной частицы

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta }$

пропорционален оператору Лапласа, который в криволинейных координатах, а также на произвольном римановом многообразии имеет вид^[1]

${\displaystyle \Delta ={\frac {1}{\sqrt {g}}}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\left({\sqrt {g}}g^{ik}{\frac {\partial }{\partial q^{k}}}\right)}$.

Таким образом, гамильтониан свободной частицы в криволинейных координатах имеет вид:^[2]

${\displaystyle H=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {1}{\sqrt {g}}}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\left({\sqrt {g}}g^{ik}{\frac {\partial }{\partial q^{k}}}\right)}$.

Классическая функция Гамильтона имеет вид

${\displaystyle H_{c}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )={\frac {1}{2m}}g^{ik}(\mathbf {q} )p_{i}p_{k}}$.

В данном случае возникает нетривиальная задача упорядочивания, которая может быть решена лишь локально^[3]

${\displaystyle H(\mathbf {P} ,\mathbf {Q} )={\frac {1}{2m}}\left(g^{ik}(\mathbf {Q} )P_{i}P_{k}+i\hbar g^{is}(\mathbf {Q} )\Gamma _{is}^{k}(\mathbf {Q} )P_{k}\right)}$.

Релятивистская квантовая частица

Релятивистские квантовые частицы описываются разными уравнениями движения, в зависимости от типа частиц.

Для электронов и их античастиц позитронов справедливо уравнение Дирака. В состоянии с определённым значением импульса ${\displaystyle p}$ энергия частиц равняется

${\displaystyle E=\pm c{\sqrt {m^{2}c^{2}+p^{2}}}}$,

где знак "+" соответствует электрону, а "-" соответствует позитрону. Для релятивистского электрона появляется также дополнительное квантовое число — спин.

Другие частицы описываются своими специфическими уравнениями, например, бесспиновая частица описывается уравнением Клейна — Гордона.

Примечание

1. Оператор Лапласа на римановом многообразии называют оператором Лапласа — Бельтрами.
2. Флюгге, 2008, с. 36.
3. Тахтаджян, 2011, с. 146.

Литература

• Флюгге З. Задачи по квантовой механике / Перевод с английского под редакцией А.А. Соколова. — М.: Издательство ЛКИ, 2008. — Т. 1. — 344 с.
• Тахтаджян Л.А. Квантовая механика для математиков / Перевод с английского к.ф.-м.н. С.А. Славнов. — Изд. 2-е. — М.-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Ижевский институт компьютерных исследований, 2011. — 496 с. — ISBN 978-5-93972-900-0.