Растяжение (геометрия)

Растяжение — операция над многогранником (в любой размерности, не только в трёхмерном пространстве), при которой фасеты отделяются и передвигаются радиально в направлении от центра, новые фасеты образуются на разделённых элементах (вершинах, рёбрах и т.д.). Эти же операции можно понимать как операции, сохраняющие фасеты на месте, но уменьшающие их в размерах.

Пример растяжения пятиугольника в десятиугольник путём движения рёбер от центра и вставки новых рёбер в получившиеся разрывы. Растяжение является однородным, если все рёбра имеют один и тот же размер.

Анимация растяжения куба (и октаэдра)

Под политопом понимается многомерный многогранник и далее в статье эти понятия употребляются как синонимы (слово «многомерный» может быть опущено, если оно предполагается по смыслу)^[1].

Растяжение правильного многомерного многогранника образует однородный политоп^[англ.], но операция может быть применена к любому выпуклому политопу, как продемонстрировано для многогранников в статье «Нотация Конвея для многогранников». В случае трёхмерных многогранников растянутый многогранник имеет все грани исходного многогранника, все грани двойственного многогранника и дополнительные квадратные грани на месте исходных рёбер.

Растяжение правильных политопов

Согласно Коксетеру, это термин для многомерных тел был определён Алишией Буль Стотт^{[англ.][2]} для создания новых многомерных многогранников. Точнее, для создания однородных многомерных многогранников^[англ.] из правильных многомерных многогранников.

Операция растяжения симметрична для правильных политопов и им двойственных многогранников. Получающееся тело содержит фасеты как правильного многогранника, так и двойственного ему многогранника, а также дополнительные призматические фасеты, заполняющие пространство между элементами меньшей размерности.

Растяжение до некоторой степени имеет различное значение для разных размерностей. В построении Витхоффа растяжение генерируется отражением от первого и последнего зеркала. В более высоких размерностях растяжение может быть записано с помощью (нижнего) индекса, так что e₂ — это то же самое, что и t_0,2 в любой размерности.

Замечание: Названия операций над многогранниками в русскоязычной литературе не устоялись, так что ниже даны английские названия с переводом.

По размерностям:

• Правильный {p} многоугольник растягивается в правильный 2p-угольник.
  • Для многоугольников операция идентична операции усечения, e{p} = e₁{p} = t_0,1{p} = t{p} и имеет диаграмму Коксетера — Дынкина .
• Правильный {p,q} многогранник (3-мерный политоп) растягивается в многогранник с вершинную фигуру p.4.q.4.
  • Для многогранников эта операция носит название «cantellation» (скашивание), e{p,q} = e₂{p,q} = t_0,2{p,q} = rr{p,q}, и операция имеет диаграмму Коксетера .

    

    Например, ромбокубооктаэдр может быть назван растянутым кубом, растянутым октаэдром, а также скошенным кубом или скошенным октаэдром.

• Правильный {p,q,r} четырёхмерный многогранник (4-политоп) растягивается в новый 4-мерный политоп с теми же {p,q} ячейками, новые ячейки {r,q} образуются на месте старых вершин, p-угольные призмы образуются на месте старых (2-мерных) граней и r-угольные призмы на месте старых рёбер.
  • Для 4-мерных многогранников эта операция носит название «runcination»^[англ.] (обстругивание), e{p,q,r} = e₃{p,q,r} = t_0,3{p,q,r}, и операция имеет диаграмму Коксетера .
• Подобным же образом правильный {p,q,r,s} пятимерный многогранник растягивается в новый 5-мерный политоп с фасетами {p,q,r}, {s,r,q}, призмами^[англ.] {p,q}×{ }, призмами {s,r}×{ } и дуопризмами {p}×{s}.
  • Операция называется «sterication»^[англ.] (обрубание), e{p,q,r,s} = e₄{p,q,r,s} = t_0,4{p,q,r,s} = 2r2r{p,q,r,s} и операция имеет диаграмму Коксетера .

Общая операция растяжения правильного n-мерного многогранника — t_0,n-1{p,q,r,...}. Новые правильные фасеты добавляются на место каждой вершины и новые призматические политопы добавляются для каждого разделённого ребра, (двумерной) грани и т.д..

См. также

• Нотация Конвея для многогранников

Примечания

1. В русскоязычной литературе под правильными политопами (многогранниками размерности > 3) и многогранниками обычно понимают выпуклые тела, в англоязычной литературе звёздчатые правильные многогранники тоже считаются правильными политопами (многогранниками)
2. Coxeter, 1973, с. 123,210.

Литература

• H. S. M. Coxeter. Regular Polytopes. — third edition. — New York: Dover Publications Inc., 1973. — ISBN 0-486-61480-8.. Первое издание: Methuen & Co. Ltd., London, 1948
• Weisstein, Eric W. Expansion (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Norman Johnson. Uniform Polytopes. — 1991. — (рукопись).
  • N.W. Johnson. The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs. — Ph.D. University of Toronto, 1966. — (Ph.D. Dissertation).

Операции над многогранниками

Основа	Усечение	Полное усечение	Глубокое усечение[англ.]	Двойствен- ность	Растяжение	Всеусечение[англ.]	Альтернация[англ.]
t0{p, q} {p, q}	t01{p,q}[англ.] t{p, q}	t1{p,q} r{p, q}	t12{p,q}[англ.] 2t{p, q}	t2{p, q} 2r{p, q}	t02{p,q}[англ.] rr{p, q}	t012{p,q}[англ.] tr{p, q}	ht0{p,q}[англ.] h{q, p}	ht12{p,q} s{q, p}	ht012{p,q} sr{p, q}