Скашивание (геометрия)

Скашивание — операция в пространстве любой размерности, при которой срезаются рёбра и вершины правильного многогранника, создавая новые грани на месте каждого ребра и вершины. Операцию можно применять к правильным мозаикам и сотам. Операция также является спрямлением полного усечения многогранника.

Скошенный куб — красные (исходные) грани куба уменьшились. Рёбра срезаны и образовали новые жёлтые грани. Вершины усечены с образованием синих треугольных граней.

Скошенные^[англ.] кубические соты — фиолетовые кубы скошены. Рёбра срезаны с образованием новых синих кубических ячеек. Вершины усечены с образованием новых красных спрямлённых кубических ячеек.

Операция (для многогранников и мозаик) также называется расширением (согласно Стотт^[англ.]), поскольку эту операцию можно представить как движение граней (в сторону удаления от центра многогранника), а на месте образовавшихся щелей образуются новые грани.

Обозначения

Операция представляется расширенным cимволом Шлефлиl t_0,2{p,q,...}, или ${\displaystyle r{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}}$, или rr{p,q,...}.

Для многогранников операция скашивания даёт последовательность многогранников от правильного многогранника до его двойственного.

Пример последовательности от куба до октаэдра

Для многогранников больших размерностей скашивание даёт последовательность из правильного многогранника до его полного усечения. Кубооктаэдр можно рассматривать как полное усечение, например, тетраэдра.

Примеры многогранников и мозаик

Однородные многогранники и мозаики

	Многогранники			Мозаики
Коксетер	rTT	rCO	rID	rQQ	rHΔ
Нотация Конвея	eT	eC = eO	eI = eD	eQ	eH = eΔ
Расширенные многогранники	Тетраэдр	Куб или Октаэдр	Икосаэдр или Додекаэдр	Квадратная мозаика	Шестиугольная мозаика Треугольная мозаика
Рисунок
Вращающиеся

2-однородные многогранники

Коксетер	rrt{2,3}	rrs{2,6}	rrCO	rrID
Нотация Конвея	eP3	eA4	eaO = eaC	eaI = eaD
Расширенные многогранники	Треугольная призма или Треугольная бипирамида	Квадратная антипризма или Четырёхугольный трапецоэдр	Кубооктаэдр или Ромбододекаэдр	Икосододекаэдр или Ромботриаконтаэдр
Рисунок
Вращающиеся

См. также

• Однородный многогранник
• Однородный 4-мерный многогранник^[англ.]

Литература

• H.S.M. Coxeter. Chapter 8: Truncation, p. 210 Expansion // Regular Polytopes. — 3rd. — Dover edition, 1973. — P. 145—154. — ISBN 0-486-61480-8.
• Norman Johnson Uniform Polytopes, Manuscript (1991)
• N.W. Johnson : The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs, Ph.D. Dissertation, University of Toronto, 1966

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Expansion (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• George Olshevsky^[англ.]
• Truncation на Glossary for Hyperspace.