Прямая Александрова

Прямая Александрова (или длинная прямая) — топологическое пространство, один из основных контрпримеров, используемых в топологии^[1]: обычная вещественная прямая состоит из счётного числа отрезков ${\displaystyle [0,1)}$, расположенных друг за другом, а прямая Александрова строится из несчётного числа таких отрезков. Построена Павлом Александровым в 1924 году^[2].

Замкнутая прямая Александрова ${\displaystyle L}$ определяется как декартово произведение первого несчётного ординала ${\displaystyle \omega _{1}}$ и полуинтервала ${\displaystyle [0,1)}$, снабжённое топологией порядка (то есть её база — интервалы ${\displaystyle \{x\mid a<x<b\}}$), индуцированной лексикографическим порядком на ${\displaystyle \omega _{1}\times [0,1)}$. Открытая прямая получается удалением наименьшего элемента ${\displaystyle (0,0)}$.

Прямая Александрова равномощна вещественной прямой и является нормальным пространством, как и любое пространство с топологией порядка, однако обладает рядом необычных свойств. В частности, её топология неметризуема, она секвенциально компактна, но не компактна, линейно связна, локально связна и односвязна, но не стягиваема. Более того, прямая Александрова имеет структуру несепарабельного топологического многообразия^[3], несмотря на непаракомпактность, и удовлетворяет первой аксиоме счётности, но не второй. На ней также можно ввести структуру дифференцируемого^[4] и даже аналитического^[5] многообразия.

Примечания

1. Steen, Lynn Arthur. Counterexamples in Topology / Lynn Arthur Steen, J. Arthur Jr. Seebach. — Dover reprint of 1978. — Berlin, New York : Springer-Verlag, 1995. — P. 71–72. — ISBN 978-0-486-68735-3.
2. P. Alexandroff. Uber die Metrisation der im Kleinen kompakten topologischen Räume // Math. Ann. — 1924. — Т. 92. — С. 295—301. — doi:10.1007/BF01448011.
3. Некоторые авторы требуют свойства сепарабельности и счётности базы в определении топологического многообразия, см. Shastri, Anant R. (2011), Elements of Differential Topology, CRC Press, p. 122, ISBN 9781439831632.
4. Nyikos, Peter J. (1992). "Various smoothings of the long line and their tangent bundles". Advances in Mathematics. 93: 129—213. doi:10.1016/0001-8708(92)90027-I. MR 1164707.
5. Kneser, Hellmuth; Kneser, Martin (1960). "Reell-analytische Strukturen der Alexandroff-Halbgeraden und der Alexandroff-Geraden". Archiv der Mathematik. 11: 104—106. doi:10.1007/BF01236917.