Односвязное пространство

Не следует путать со связным пространством.

Односвязное пространство — линейно связное топологическое пространство, в котором любой замкнутый путь можно непрерывно стянуть в точку. Пример: сфера односвязна, а поверхность тора не односвязна, потому что окружности на торе, показанные красным на рисунке, нельзя стянуть в точку.

Стягивание контура в точку на сфере

Поверхность тора — пример не односвязного пространства

Определения

• Линейно связное топологическое пространство ${\displaystyle X}$ называется односвязным, если все замкнутые пути в нём гомотопны нулю.

• Эквивалентное определение: Линейно связное топологическое пространство ${\displaystyle X}$ называется односвязным, если фундаментальная группа пространства ${\displaystyle X}$ тривиальна.

Примеры

• Любое выпуклое множество в евклидовом пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ односвязно.
• Дополнение ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\backslash A,\ n\geqslant 3}$, где ${\displaystyle A}$ — не более чем счётный набор аффинных подпространств в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ коразмерности 3 или больше, является односвязным.
• Круговое кольцо, лента Мёбиуса, проективная плоскость не односвязны.

Свойства

Односвязность является гомотопическим инвариантом, то есть гомотопически эквивалентные пространства либо оба односвязны, либо оба не односвязны.

Литература

• Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3.

Ссылки

• И. М. Виноградов. Односвязная область // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия (рус.). — 1977—1985.