Полнократное число

Полнократное число — положительное целое число, которое делится нацело квадратом каждого своего простого делителя.

Эквивалентное определение: число, представимое в виде ${\displaystyle a^{2}b^{3}}$, где ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ — положительные целые числа (натуральные числа).

Полнократные числа систематически изучены Палом Эрдёшем и Дьёрдем Секерешем, наименование дано Соломоном Голомбом.

Список полнократных чисел между 1 и 1000^[1]:

1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, 216, 225, 243, 256, 288, 289, 324, 343, 361, 392, 400, 432, 441, 484, 500, 512, 529, 576, 625, 648, 675, 676, 729, 784, 800, 841, 864, 900, 961, 968, 972, 1000.

Эквивалентность двух определений

Если ${\displaystyle m=a^{2}b^{3}}$, то любое простое в разложении ${\displaystyle a}$ входит дважды, а входящее в ${\displaystyle b}$ — не менее трёх раз; так что любое простое в разложении ${\displaystyle m}$ входит не менее, чем в квадрате.

С другой стороны, пусть ${\displaystyle m}$ — полнократное число с разложением

${\displaystyle m=\prod p_{i}^{\alpha _{i}}}$,

где каждое ${\displaystyle \alpha _{i}\geq 2}$. Определим ${\displaystyle \gamma _{i}}$ равным трём, если ${\displaystyle \alpha _{i}}$ нечётно, и нулю в противном случае, и определим ${\displaystyle \beta _{i}=\alpha _{i}-\gamma _{i}}$. Тогда все значения ${\displaystyle \beta _{i}}$ являются неотрицательными чётными целыми, и все значения ${\displaystyle \gamma _{i}}$ либо равны нулю, либо трём, так что:

${\displaystyle m=(\prod p_{i}^{\beta _{i}})(\prod p_{i}^{\gamma _{i}})=(\prod p_{i}^{\beta _{i}/2})^{2}(\prod p_{i}^{\gamma _{i}/3})^{3}}$

даёт искомое представление ${\displaystyle m}$, как произведение квадрата и куба.

Иными словами, для данного разложения числа ${\displaystyle m}$ можно взять в качестве ${\displaystyle b}$ произведение простых множителей, входящих в разложение с нечётными степенями (если таких нет, то 1). Поскольку ${\displaystyle m}$ — полнократное, каждый простой множитель, входящий в разложение с нечётной степенью, имеет степень не менее 3, так что ${\displaystyle m/b^{3}}$ является целым. Теперь каждый простой множитель ${\displaystyle m/b^{3}}$ имеет чётную степень, так что ${\displaystyle m/b^{3}}$ — полный квадрат, обозначим его как ${\displaystyle a^{2}}$; и получается ${\displaystyle m=a^{2}b^{3}}$. Например:

${\displaystyle m=21600=2^{5}\times 3^{3}\times 5^{2}}$,

${\displaystyle b=2\times 3=6}$,

${\displaystyle a={\sqrt {\frac {m}{b^{3}}}}={\sqrt {2^{2}\times 5^{2}}}=10}$,

${\displaystyle m=a^{2}b^{3}=10^{2}\times 6^{3}}$.

Математические свойства

Сумма обратных величин полнократных чисел сходится:

${\displaystyle \prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p(p-1)}}\right)={\frac {\zeta (2)\zeta (3)}{\zeta (6)}}={\frac {315}{2\pi ^{4}}}\zeta (3)}$,

где ${\displaystyle p}$ — обходит все простые числа, ${\displaystyle \zeta (s)}$ — дзета-функция Римана, и ${\displaystyle \zeta (3)}$ — постоянная Апери (Голомб, 1970).

Пусть ${\displaystyle k(x)}$ означает количество полнократных чисел в интервале ${\displaystyle [1,x]}$. Тогда ${\displaystyle k(x)}$ пропорционально квадратному корню из ${\displaystyle x}$. Точнее:

${\displaystyle cx^{1/2}-3x^{1/3}\leq k(x)\leq cx^{1/2},c=\zeta (3/2)/\zeta (3)=2,173\cdots }$^[2].

Два наименьших последовательных полнократных числа — это 8 и 9. Поскольку уравнение Пелля ${\displaystyle x^{2}-8y^{2}=1}$ имеет бесконечное число решений, то имеется и бесконечное число пар последовательных полнократных чисел^[2]; Более общо, можно найти последовательные полнократные числа, найдя решение уравнения, похожего на уравнение Пелля, ${\displaystyle x^{2}-ny^{2}=\pm 1}$ для любого куба ${\displaystyle n}$. Однако одно из полнократных чисел в паре, полученной таким образом, должно быть квадратом. Согласно Гаю, Эрдёш задавал вопрос, бесконечно ли число пар полнократных чисел аналогичных ${\displaystyle (23^{3},2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 13^{2})}$, в которых ни одно из чисел в паре не является квадратом. Ярослав Вроблевский показал, что, наоборот, имеется бесконечно много таких пар, показав, что ${\displaystyle 3^{3}c^{2}+1=7^{3}d^{2}}$ имеет бесконечно много решений.

Согласно гипотезе Эрдёша — Моллина — Уолша, не существует трёх последовательных полнократных чисел.

Суммы и разности полнократных чисел

Любое нечётное число представимо в виде разности двух последовательных квадратов:

${\displaystyle (k+1)^{2}=k^{2}+2k+1\Rightarrow (k+1)^{2}-k^{2}=2k+1}$.

Таким же образом, любое число кратное четырём представимо в виде разности двух чисел, отличающихся на два: ${\displaystyle (k+2)^{2}-k^{2}=4k+4}$. Однако число, делящееся на два, но не на четыре, нельзя представить в виде разности квадратов, то есть возникает вопрос: какие чётные числа, не делящиеся на 4, могут быть представлены в виде разности двух полнократных чисел.

Голомб дал несколько таких представлений:

2 = 3³ − 5²

10 = 13³ − 3⁷

18 = 19² − 7³ = 3²(3³ − 5²).

Сначала высказана гипотеза, что число 6 нельзя представить в таком виде, и Голомб предположил, что имеется бесконечно много целых чисел, которые нельзя представить в виде разности двух полнократных чисел. Однако Наркивич обнаружил, что существует бесконечно много способов представления числа 6, например

6 = 5⁴7³ − 463²,

и Макдэниел^[3] показал, что любое число имеет бесконечное число таких представлений .

Эрдёш высказал гипотезу, что любое достаточно большое целое число является суммой максимум трёх полнократных чисел. Гипотеза была доказана Роджером Хит-Брауном^[4].

Обобщение

${\displaystyle k}$-полнократные числа — числа, в разложении которых простые числа входят со степенью не менее ${\displaystyle k}$.

${\displaystyle (2^{k+1}-1)^{k}}$, ${\displaystyle 2^{k}(2^{k+1}-1)^{k}}$, ${\displaystyle (2^{k+1}-1)^{k+1}}$ являются ${\displaystyle k}$-полнократными в арифметической прогрессии.

Более того, если ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{s}}$ являются ${\displaystyle k}$-полнократными в арифметической прогрессии с разностью ${\displaystyle d}$, то:

${\displaystyle (a_{1}+d)^{k},a_{2}(a_{s}+d)^{k},\dots ,a_{s}(a_{s}+d)^{k},a_{s}(a_{s}+d)^{k+1}}$

являются ${\displaystyle k}$-полнократными числами в арифметической прогрессии.

Для ${\displaystyle k}$- полнократных чисел имеет место:

${\displaystyle a^{k}(a^{l}+\dots +1)^{k}+a^{k+1}(a^{l}+\dots +1)+\dots +a^{k+l}(a^{l}+\dots +1)=a^{k}(a^{l}+\dots +1)^{k+1}}$.

Это равенство даёт бесконечно много наборов длины ${\displaystyle l+1}$ ${\displaystyle k}$- полнократных чисел, суммы которых тоже ${\displaystyle k}$-полнократны. Нитадж^[5] показал, что имеется бесконечно много решений уравнения ${\displaystyle x+y=z}$ среди взаимно простых 3-полнократных чисел. Кон^[6] сконструировал бесконечное семейство решений уравнения ${\displaystyle x+y=z}$ среди взаимно простых 3-полнократных чисел: тройка

${\displaystyle X=9712247684771506604963490444281}$,

${\displaystyle Y=32295800804958334401937923416351}$,

${\displaystyle Z=27474621855216870941749052236511}$

является решением уравнения ${\displaystyle 32X^{3}+49Y^{3}=81Z^{3}}$. Возможно сконструировать другое решение, положив ${\displaystyle X'=X(49Y^{3}+81Z^{3}),Y'=-Y(32X^{3}+81Z^{3}),Z'=Z(32X^{3}-49Y^{3})}$ и убирая общий делитель.

Примечания

1. последовательность A001694 в OEIS
2. Golomb, 1970.
3. McDaniel, 1982.
4. Heath-Brown, 1988.
5. Nitaj, 1995.
6. Cohn, 1998.

Литература

• Cohn, J. H. E. A conjecture of Erdős on 3-powerful numbers // Math. Comp. — 1998. — Т. 67, вып. 221. — С. 439—440. — doi:10.1090/S0025-5718-98-00881-3.
• Pál Erdős, György Szekeres. Über die Anzahl der Abelschen Gruppen gegebener Ordnung und über ein verwandtes zahlentheoretisches Problem // Acta Litt. Sci. Szeged. — 1934. — № 7. — С. 95—102.
• Solomon W. Golomb. Powerful numbers // American Mathematical Monthly. — 1970. — Т. 77, № 8. — С. 848—852. — doi:10.2307/2317020. — JSTOR 2317020}.
• Richard K. Guy. Section B16 // Unsolved Problems in Number Theory, 3rd edition. — Springer-Verlag, 2004. — ISBN 0-387-20860-7.
• Roger Heath-Brown. Ternary quadratic forms and sums of three square-full numbers. — Boston: Birkhäuser, 1988. — С. 137—163. — (Séminaire de Théorie des Nombres, Paris, 1986-7).
• Roger Heath-Brown. Sums of three square-full numbers. — Colloq. Math. Soc. János Bolyai, no. 51, 1990. — С. 163—171. — (Number Theory, I (Budapest, 1987)).
• Wayne L. McDaniel. Representations of every integer as the difference of powerful numbers // Fibonacci Quarterly. — 1982. — № 20. — С. 85—87.
• Abderrahmane Nitaj. On a conjecture of Erdős on 3-powerful numbers // Bull. London Math. Soc.. — 1995. — Т. 4, № 27. — С. 317—318. — doi:10.1112/blms/27.4.317.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Powerful number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• The abc conjecture