Квантиль

Кванти́ль в математической статистике — значение, которое заданная случайная величина не превышает с фиксированной вероятностью. Если вероятность задана в процентах, то квантиль называется процентилем или перцентилем (см. ниже).

Например, фраза «90-й процентиль массы тела у новорожденных мальчиков составляет 4 кг»^[1] означает, что 90 % мальчиков рождаются с весом, меньшим либо равным 4 кг, а 10 % мальчиков рождаются с весом, большим либо равным 4 кг.

Определение

Рассмотрим вероятностное пространство ${\displaystyle (\Omega ,\;{\mathcal {F}},\;\mathbb {P} )}$ и ${\displaystyle \mathbb {P} ^{X}}$ — вероятностная мера, задающая распределение некоторой случайной величины ${\displaystyle X}$. Пусть фиксировано ${\displaystyle \alpha \in (0,\;1)}$. Тогда ${\displaystyle \alpha }$-квантилем (или квантилью уровня (порядка) ${\displaystyle \alpha }$) распределения ${\displaystyle \mathbb {P} ^{X}}$ называется число ${\displaystyle x_{\alpha }\in \mathbb {R} }$ такое, что^[2]

${\displaystyle \mathbb {P} (X\leqslant x_{\alpha })\geqslant \alpha ,}$

${\displaystyle \mathbb {P} (X\geqslant x_{\alpha })\geqslant 1-\alpha .}$

В некоторых источниках (например, в англоязычной литературе) ${\displaystyle k}$-м ${\displaystyle q}$-квантилем называется квантиль уровня ${\displaystyle k/q}$, то есть ${\displaystyle (k/q)}$-квантиль в предыдущих обозначениях.

Замечания

• Если распределение непрерывно, то ${\displaystyle \alpha }$-квантиль однозначно задаётся уравнением

${\displaystyle F_{X}(x_{\alpha })=\alpha ,}$

где ${\displaystyle F_{X}}$ — функция распределения ${\displaystyle \mathbb {P} ^{X}}$.

• Очевидно, для непрерывных распределений справедливо следующее широко использующееся при построении доверительных интервалов равенство:

${\displaystyle \mathbb {P} \left(x_{\frac {1-\alpha }{2}}\leqslant X\leqslant x_{\frac {1+\alpha }{2}}\right)=\alpha .}$

• Для эмпирического распределения ${\displaystyle \alpha }$-квантиль можно задать следующим способом:

1. составляем вариационный ряд значений ${\displaystyle V_{0}\leqslant V_{1}\leqslant \dots \leqslant V_{N-1}}$ (выборка имеет объём ${\displaystyle N}$), а также считаем, что ${\displaystyle V_{N}=V_{N-1}}$ (это необходимо при вычислении 100 % квантили по приводимым ниже формулам);
2. находим величину ${\displaystyle K=\lfloor \alpha \cdot (N-1)\rfloor }$;
3. сравниваем ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle \alpha \cdot N}$:

a) если ${\displaystyle K+1<\alpha N}$, то полагаем ${\displaystyle x_{\alpha }=V_{K+1}}$;

б) если ${\displaystyle K+1=\alpha N}$, то полагаем ${\displaystyle x_{\alpha }=(V_{K}+V_{K+1})/2}$;

в) если ${\displaystyle K+1>\alpha N}$, то полагаем ${\displaystyle x_{\alpha }=V_{K}}$.

Заданный таким образом ${\displaystyle \alpha }$-квантиль удовлетворяет приведенному выше определению.

В некоторых случаях (при большом объёме выборки и эмпирическом распределении, близком к непрерывному) вместо равенства ${\displaystyle K+1=\alpha N}$ можно использовать приближённое сравнение ${\displaystyle |K+1-\alpha N|<1/N}$ (это позволит, например, квантиль уровня 1/3 представлять как 0,33…333 при компьютерной обработке данных).

Медиана и квантили

Квантили нормального распределения

Основная статья: Медиана (статистика)

• 0,25-квантиль называется первым (или нижним) кварти́лем (от лат. quarta — четверть);
• 0,5-квантиль называется медианой (от лат. mediāna — середина) или вторым кварти́лем;
• 0,75-квантиль называется третьим (или верхним) кварти́лем.

Интеркварти́льным размахом (англ. Interquartile range) называется разность между третьим и первым квартилями, то есть ${\displaystyle x_{0{,}75}-x_{0{,}25}}$. Интерквартильный размах является характеристикой разброса распределения величины и является робастным аналогом дисперсии. Вместе, медиана и интерквартильный размах могут быть использованы вместо математического ожидания и дисперсии в случае распределений с большими выбросами, либо при невозможности вычисления последних.

Дециль

Деци́ль характеризует распределение величин совокупности, при котором девять значений дециля делят её на десять равных частей. Любая из этих десяти частей составляет 1/10 всей совокупности. Так, первый дециль отделяет 10 % наименьших величин, лежащих ниже дециля, от 90 % наибольших величин, лежащих выше дециля.

Так же, как в случае моды и медианы, у интервального вариационного ряда распределения каждый дециль (и квартиль) принадлежит определённому интервалу и имеет вполне определённое значение^[3].

Процентиль

${\displaystyle p}$-м проценти́лем называют квантиль уровня ${\displaystyle \alpha =p/100}$. Соответственно, медиана является 50-м процентилем, а первый и третий квартиль — 25-м и 75-м процентилями соответственно.

В целом, понятия квантиль и процентиль взаимозаменяемы, так же, как и шкалы исчисления вероятностей — абсолютная и процентная.

Процентили также называются перцентилями или центилями.

Квантили стандартного нормального распределения

Вероятность (уровень квантили), %	99,99	99,90	99,00	97,72	97,50	95,00	90,00	84,13	50,00
Квантиль (округлённый до тысячных)[4]	3,719	3,09	2,326	1,999	1,96	1,645	1,282	1	0

См. также

• Квантили распределения Стьюдента
• Квантили распределения хи-квадрат
• Нормальное распределение
• Доверительный интервал
• Наукометрия

Примечания

1. Руководство участкового педиатра. — ГЭОТАР-Медиа, 2008. — С. 44. — 354 с.
2. Фролов А. Н.. Краткий курс теории вероятностей и математической статистики: учебное пособие для СПО. — СПб.: Лань, 2021. — С. 189. — 316 с. — ISBN 978-5-8114-8343-3.
3. Шмойлова Р. А., Минашкин В. Г., Садовникова Н. А. Практикум по теории статистики. — 3-е изд. — М.: Финансы и статистика, 2011. — С. 130—131. — 416 с. — ISBN 9785279032969.
4. Большев Л. Н., Смирнов Н. В. Таблицы математической статистики. — 3-е изд.. — М.: Наука, 1983. — С. 136. — 416 с.

Ссылки