Окружность Ламуна

В планиметрии окружность Ламуна — это специальная окружность, которую можно построить в любом треугольнике ${\displaystyle T}$. Она содержит центры описанных окружностей шести треугольников, на которые треугольник ${\displaystyle T}$ разрезают три его медианы.^[1][2] Пусть для определенности ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$ — 3 вершины треугольника ${\displaystyle T}$, и пусть ${\displaystyle G}$ — его центроид (пересечение трёх медиан). Пусть ${\displaystyle M_{a}}$, ${\displaystyle M_{b}}$ и ${\displaystyle M_{c}}$ — середины сторон ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle CA}$ и ${\displaystyle AB}$ соответственно. Тогда центры шести описанных окружностей шести треугольников, на которые треугольник разбивается медианами: ${\displaystyle AGM_{c}}$, ${\displaystyle BGM_{c}}$, ${\displaystyle BGM_{a}}$, ${\displaystyle CGM_{a}}$, ${\displaystyle CGM_{b}}$ и ${\displaystyle AGM_{b}}$, лежат на общей окружности, которая называется окружностью Ламуна (англ. the van Lamoen circle).^[2]

Окружность Ламуна, проходящая через центры шести описанных окружностей шести треугольников, на которые треугольник разбивается медианами: ${\displaystyle A_{b}}$, ${\displaystyle A_{c}}$, ${\displaystyle B_{c}}$, ${\displaystyle B_{a}}$, ${\displaystyle C_{a}}$, ${\displaystyle C_{b}}$

История

Окружность Ламуна так названа в честь математика Ламуна (Floor van Lamoen), который сформулировал это как задачу (проблему) в 2000 г.^[3]. Доказательство было предоставлено Кин Я. Ли (Kin Y. Li) в 2001 г. ^[4],^[5]

Свойства

Центром окружности Ламуна является точка ${\displaystyle X(1153)}$ в Энциклопедии центров треугольника К. Кимберлинга. В 2003 году Алексей Мякишев и Петер Й. Ву (Peter Y. Woo) доказали, что обратное утверждение теоремы почти всегда справедливо в следующем смысле: пусть ${\displaystyle P}$ — любая точка внутри треугольника, и ${\displaystyle AA'}$, ${\displaystyle BB'}$ и ${\displaystyle CC'}$ — три его чевианы, то есть отрезки, которые соединяют каждую вершину с ${\displaystyle P}$, продолженные до их пересечения с противоположной стороной. Тогда описанные окружности шести треугольников ${\displaystyle APB'}$, ${\displaystyle APC'}$, ${\displaystyle BPC'}$, ${\displaystyle BPA'}$, ${\displaystyle CPA'}$ и ${\displaystyle CPB'}$ лежат на одной окружности тогда и только тогда, когда ${\displaystyle P}$ является центроидом треугольника ${\displaystyle T}$ или его ортоцентром (точкой пересечения трёх его высот). ^[6] Более простое доказательство этого результата было дано Нгуен Минь Ха (Nguyen Minh Ha) в 2005 году.^[7]

См. также

• Окружность Парри
• Окружность Лестера

Примечание

1. Clark Kimberling (), X(1153) = Center of the van Lemoen circle, in the Encyclopedia of Triangle Centers Accessed on 2014-10-10.
2. Eric W. Weisstein, van Lamoen circle at Mathworld. Accessed on 2014-10-10.
3. Kin Y. Li (2001), Concyclic problems. Mathematical Excalibur, volume 6, issue 1, pages 1-2.
4. Clark Kimberling (), X(1153) = Center of the van Lemoen circle, in the Encyclopedia of Triangle Centers Accessed on 2014-10-10
5. (2002), Solution to Problem 10830. American Mathematical Monthly, volume 109, pages 396—397
6. Alexey Myakishev and Peter Y. Woo (2003), On the Circumcenters of Cevasix Configuration Архивная копия от 9 августа 2017 на Wayback Machine. Forum Geometricorum, volume 3, pages 57-63.
7. N. M. Ha (2005), Another Proof of van Lamoen’s Theorem and Its Converse. Forum Geometricorum, volume 5, pages 127—132.