Теорема Лестера

Теорема Лестера — утверждение в геометрии треугольника, согласно которому в любом разностороннем треугольнике две точки Ферма, центр девяти точек и центр описанной окружности лежат на одной окружности (окружности Лестера). Названа именем канадского математика Джун Лестер (June Lester).

Точки Ферма ${\displaystyle X_{13},X_{14}}$, центр ${\displaystyle X_{5}}$ окружности девяти точек (светло-голубой), и центр описанной окружности ${\displaystyle X_{3}}$ зелёного треугольника лежат на окружности Лестера (чёрная).

Доказательства

Доказательство Гиберта с помощью гиперболы Киперта

Теорема об окружности Лестера вытекает из более общего утверждения Б. Гиберта (2000), а именно, что любая окружность, диаметр которой является хордой гиперболы Киперта треугольника и перпендикулярен его прямой Эйлера, проходит через точки Ферма^[1][2].

Лемма Дао на прямоугольной гиперболе

Теорема Дао о прямоугольной гиперболе

В 2014 году Дао Танх Оай (Đào Thanh Oai) показал, что результат Гиберта следует из свойств прямоугольных гипербол. А именно, пусть точки ${\displaystyle H}$ и ${\displaystyle G}$ лежат на одной ветви прямоугольной гиперболы ${\displaystyle S}$, а ${\displaystyle F_{+}}$ и ${\displaystyle F_{-}}$ — две точки на ${\displaystyle S}$, симметричные относительно её центра (точки-антиподы), в которых касательные прямые к ${\displaystyle S}$ параллельны прямой ${\displaystyle HG}$.

Пусть ${\displaystyle K_{+}}$ и ${\displaystyle K_{-}}$ — две точки на гиперболе, касательные прямые в которых пересекаются в точке ${\displaystyle E}$ на прямой ${\displaystyle HG}$. Если прямая ${\displaystyle K_{+}K_{-}}$ пересекает ${\displaystyle HG}$ в точке ${\displaystyle D}$, и перпендикуляр в середине отрезка ${\displaystyle DE}$ пересекает гиперболу в точках ${\displaystyle G_{+}}$ и ${\displaystyle G_{-}}$, то шесть точек ${\displaystyle F_{+},F_{-},E,D,G_{+},G_{-}}$ лежат на одной окружности^[3].

Чтобы получить теорему Лестера из этого результата, необходимо взять в качестве ${\displaystyle S}$ гиперболу Киперта треугольника, в качестве точек ${\displaystyle F_{+},F_{-}}$ — точки Ферма, точками ${\displaystyle K_{+},K_{-}}$ будут внутренняя и внешняя точки Вектена, точками ${\displaystyle H,G}$ будут ортоцентр и центроид треугольника^[3].

См. также

• Окружность Парри^[англ.]
• Точка Парри
• Точки Торричелли

Примечания

1. B. Gibert (2000): [ Message 1270]. Entry in the Hyacinthos online forum, 2000-08-22. Accessed on 2014-10-09.
2. Paul Yiu (2010), The circles of Lester, Evans, Parry, and their generalizations Архивная копия от 7 октября 2021 на Wayback Machine. Forum Geometricorum, volume 10, pages 175—209. MR: 2868943
3. Đào Thanh Oai (2014), A Simple Proof of Gibert’s Generalization of the Lester Circle Theorem Архивная копия от 10 октября 2015 на Wayback Machine Forum Geometricorum, volume 14, pages 201—202. MR: 3208157

Литература

• Clark Kimberling. Lester Circle // Mathematics Teacher. — 1996. — Т. 89, вып. 26.
• June A. Lester. Triangles III: Complex triangle functions // Aequationes Mathematicae. — 1997. — Т. 53. — С. 4–35.
• Michael Trott. Applying GroebnerBasis to Three Problems in Geometry // Mathematica in Education and Research. — 1997. — Т. 6. — С. 15–28.
• Ron Shail. A proof of Lester's Theorem // Mathematical Gazette. — 2001. — Т. 85. — С. 225–232.
• John Rigby. A simple proof of Lester's theorem // Mathematical Gazette. — 2003. — Т. 87. — С. 444–452.
• J.A. Scott. On the Lester circle and the Archimedean triangle // Mathematical Gazette. — Т. 89. — С. 498–500.
• Michael Duff. A short projective proof of Lester's theorem // Mathematical Gazette. — Т. 89. — С. 505–506.
• Stan Dolan. Man versus Computer // Mathematical Gazette. — Т. 91. — С. 469–480.

• Paul Yiu. The Circles of Lester, Evans, Parry, and Their Generalizations // Forum Geometricorum. — 2010. — Т. 10. — С. 175–209.

Ссылки

• The Lester Circle Details of its discovery. (англ.)
• Lester Circle at MathWorld (англ.)
• Center of the Pohoata-Dao-Moses circles X(5607) and X(5608) (англ.)
• Generalizations of some famous classical Euclidean geometry theorems