Теорема Лестера

Теорема Лестера — утверждение в геометрии треугольника, согласно которому в любом разностороннем треугольнике две точки Ферма, центр девяти точек и центр описанной окружности лежат на одной окружности (окружности Лестера). Названа именем канадского математика Джун Лестер (June Lester).

Точки Ферма ${\displaystyle X_{13},X_{14}}$, центр ${\displaystyle X_{5}}$ окружности девяти точек (светло-голубой), и центр описанной окружности ${\displaystyle X_{3}}$ зелёного треугольника лежат на окружности Лестера (чёрная).

Доказательства

Доказательство Гиберта с помощью гиперболы Киперта

Теорема об окружности Лестера вытекает из более общего утверждения Б. Гиберта (2000), а именно, что любая окружность, диаметр которой является хордой гиперболы Киперта треугольника и перпендикулярен его прямой Эйлера, проходит через точки Ферма^[1][2].

Лемма Дао на прямоугольной гиперболе

Теорема Дао о прямоугольной гиперболе

В 2014 году Дао Танх Оай (Đào Thanh Oai) показал, что результат Гиберта следует из свойств прямоугольных гипербол. А именно, пусть точки ${\displaystyle H}$ и ${\displaystyle G}$ лежат на одной ветви прямоугольной гиперболы ${\displaystyle S}$, а ${\displaystyle F_{+}}$ и ${\displaystyle F_{-}}$ — две точки на ${\displaystyle S}$, симметричные относительно её центра (точки-антиподы), в которых касательные прямые к ${\displaystyle S}$ параллельны прямой ${\displaystyle HG}$.

Пусть ${\displaystyle K_{+}}$ и ${\displaystyle K_{-}}$ — две точки на гиперболе, касательные прямые в которых пересекаются в точке ${\displaystyle E}$ на прямой ${\displaystyle HG}$. Если прямая ${\displaystyle K_{+}K_{-}}$ пересекает ${\displaystyle HG}$ в точке ${\displaystyle D}$, и перпендикуляр в середине отрезка ${\displaystyle DE}$ пересекает гиперболу в точках ${\displaystyle G_{+}}$ и ${\displaystyle G_{-}}$, то шесть точек ${\displaystyle F_{+},F_{-},E,D,G_{+},G_{-}}$ лежат на одной окружности^[3].

Чтобы получить теорему Лестера из этого результата, необходимо взять в качестве ${\displaystyle S}$ гиперболу Киперта треугольника, в качестве точек ${\displaystyle F_{+},F_{-}}$ — точки Ферма, точками ${\displaystyle K_{+},K_{-}}$ будут внутренняя и внешняя точки Вектена, точками ${\displaystyle H,G}$ будут ортоцентр и центроид треугольника^[3].

См. также

• Окружность Парри^[англ.]
• Точка Парри
• Точки Торричелли