Общее положение

О́бщее положе́ние (англ. general position^[1]) — свойство, которое выполняется почти всюду, то есть почти для всех рассматриваемых объектов. Математический термин, используемый в основном в геометрии, значение которого зависит от контекста и который применяется обычно в следующих словосочетаниях^[2]: «объекты, находящиеся в общем положении, имеют свойство S», «S есть свойство общего положения», «приведение объектов в общее положение», другими словами, между объектами отсутствуют какие-либо «особые» отношения^[1].

Два общих положения прямой и окружности

Следующий пример типичен для понятия «общее положение»^[2].

Общее положение на плоскости прямой и окружности — прямая и окружность либо не пересекаются, либо пересекаются в двух точках. Иначе, почти всегда прямая либо проходит вне окружности, либо пересекает её в двух точках, и почти никогда её не касается. В количественных соотношениях, если на плоскости есть окружность и прямая, то имеется бесконечное количество прямых, параллельных данной прямой, которые либо проходят вне окружности, либо пересекают её в двух точках, и всего две параллельные прямые, которые касаются окружности^[3].

Сначала общее положение понималось в геометрических терминах, подобных терминам в случае прямой и окружности на плоскости, и термин «общее положение» используется в геометрических разделах математики или испытывающих значительное влияние геометрии. Тем не менее идеи, опирающиеся на множества второй категории Бэра или полной меры^[англ.], употребляются за пределами геометрии^[3].

В настоящее время термин «общее положение» часто используется при непосредственном обобщении терминов, использованных в случае прямой и окружности на плоскости, а именно либо непосредственно при исследовании трансверсальности двух многообразий в соответствующем объемлющем многообразии, либо в родственном случае с трансверсальными самопересечениями иммерсированного подмногообразия^{[англ.][3]}.

Структура совокупности всех объектов

Обычно в некотором контексте совокупность ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$ всех рассматриваемых объектов имеет некоторую структуру, которая выделяет некоторые подсовокупности ${\displaystyle {\mathfrak {A\subset S}}}$ как «малые», «пренебрежимые» или, наоборот, «большие», «массивные». В этом случае считается, что некоторое свойство ${\displaystyle S}$ имеет общее положение, если обладающие им объекты образуют в ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$ «большую» подсовокупность^[2].

Совокупность ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$, как правило, обладает одной из следующих структур^[2]:

(1) алгебраического многообразия;

(2) гладкого многообразия (возможного, бесконечномерного);

(3) топологического пространства, чаще всего пространства второй категории Бэра, в частности полные метрические пространства.

(4) пространства с мерой.

В перечисленных случаях «малыми» подсовокупностями считаются соответственно^[2]:

(1) алгебраические подмногообразия (меньшей размерности);

(2) дифференцируемые подмногообразия и их конечные или счётные объединения;

(3) нигде не плотные множества или множества первой категории Бэра;

(4) множества меры нуль.

Подсовокупность ${\displaystyle {\mathfrak {A\subset S}}}$ определяется как «большая», если дополнение к ней — «малая»^[2].

Альтернативные формулировки

Типичное свойство, или свойство общего положения, — свойство ${\displaystyle S}$, которое выполняется почти для всех объектов из совокупности ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$. При этом подсовокупность ${\displaystyle {\mathfrak {A\subset S}}}$ включает «большинство», или «почти все», объекты ${\displaystyle S\in {\mathfrak {S}}}$^[2].

Типичный объект, или объект общего положения, или объект, находящийся в общем положении, — объект, обладающий одним или несколькими «типичными свойствами» (какими именно — выясняется из контекста)^[2].

Существует более слабое значение термина «большое подмножество»: в случаях (3) и (4) «большое» подмножество может означать соответственно подмножество второй категории Бэра в непустом открытом подмножестве пространства ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$ или подмножество положительной меры. В этих случаях говорят. что «этим множеством объектов нельзя пренебречь», но уже не говорят о «типичности»^[2].

Использование коразмерности

Теперь рассмотрим случаи (1) и (2). Имеем «малое» множество ${\displaystyle {\mathfrak {A\subset S}}}$ с положительной коразмерностью ${\displaystyle \operatorname {codim} {\mathfrak {A}}}$. Поэтому чем больше коразмерность ${\displaystyle \operatorname {codim} {\mathfrak {A}}}$, тем меньше множество ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$^[2].

Если имеются ${\displaystyle n}$-параметрические семейства объектов ${\displaystyle O(\lambda _{1},\lambda _{2},\dots \lambda _{n})}$, которые достаточно гладко зависят от ${\displaystyle n}$ скалярных параметров, причём всевозможные такие семейства образуют пространство второй категории Бэра, то возникает ситуация, близкая к (2) и даже более общая. А именно, малость множества ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ означает, что^[2]:

• ${\displaystyle \operatorname {codim} {\mathfrak {A}}>n}$, если почти все (в смысле (3)) семейства ${\displaystyle O(\lambda _{1},\lambda _{2},\dots \lambda _{n})}$ не содержат объектов из ${\displaystyle \operatorname {codim} {\mathfrak {A}}}$;
• ${\displaystyle \operatorname {codim} {\mathfrak {A}}=\infty }$, если это так при любом ${\displaystyle n}$.

Подобные соображения коразмерности существенны в теории бифуркаций и теории особенностей дифференцируемых отображений^[2].

Использование групповых операций

Рассмотрим объекты, на которые действуют некоторые операции ${\displaystyle g}$, совокупность которых ${\displaystyle G}$, как правило, есть группа или хотя бы полугруппа с единицей ${\displaystyle e}$^[2].

Приведение объекта в общее положение использованием групповой операции — получение определённых свойств объекта ${\displaystyle O}$ путём использования групповой операции ${\displaystyle g}$: новый объект ${\displaystyle gO}$ обладает нужными свойствами^[2].

Аналогично совокупности ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$ группа (полугруппа с единицей) ${\displaystyle G}$ имеет некоторую структуру, которая и определяет «большое» множество операций^[4].

Приведение объекта в общее положение использованием малого шевеления — процедура, заключающаяся в том, что операцию ${\displaystyle g}$, которая отображает исходный объект ${\displaystyle O}$ в объект ${\displaystyle gO}$ с определёнными свойствами, можно выбрать сколь угодно близкой к единице ${\displaystyle e}$^[3].

В качестве примера приведём прямую ${\displaystyle a}$ и окружность ${\displaystyle b}$ на плоскости, которые в общем положении либо не пересекаются, либо пересекаются в двух точках. В этом примере объект — это пара ${\displaystyle (a,b)}$, а операции — движения евклидовой плоскости (даже одни только параллельные переносы), которые применяются к прямой ${\displaystyle a}$ при фиксированной окружности ${\displaystyle b}$. Следовательно, совокупность всех объектов ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$ и группа ${\displaystyle G}$ естественным образом получают все необходимые вышеназванные структуры, и тогда общее положение понимается в соответствии с любым из вышеописанных вариантов^[3].

Использование в разделах математики

Использование в геометрической топологии

В геометрической топологии^[англ.], которая изучает как кусочно линейные, так и топологические многообразия и соответствующие классы отображений, термин «общее положение» используется почти исключительно как синоним термина «трансверсальность»^[3].

Использование в алгебраической геометрии

В алгебраической геометрии несложные случаи, аналогичные прямой и окружности на плоскости, легко анализируются с помощью теории исключения^[англ.], при этом основное поле произвольно (но обычно алгебраически замкнуто). В более сложных ситуациях имеются следующие теоремы^[3]:

• две теоремы Бертини^[англ.];
• теорема Лефшеца о гиперплоском сечении^[англ.].

Кроме того, при рассмотрении действия алгебраической группы на алгебраическом многообразии большое значение имеют точки общего положения^[3].

Использование в дифференциальной топологии и теории особенностей дифференцируемых отображений

Понятие общего положения применяется очень широко в дифференциальной топологии и теории особенностей дифференцируемых отображений. При доказательстве результатов обычно используются следующие теоремы об общем положении, или теоремы о трансверсальной регулярности^[3][5]:

• теорема Сарда^[6];
• более удобны для практического применения теоремы о трансверсальности:

• теорема Тома^{[англ.][6]};
• теорема Абрахама^{[англ.][7]}.

Указанная теорема Сарда при бесконечной размерности не верна, но этот недостаток компенсируется более слабыми результатами^[3].

Использование в теории гладких динамических систем

Несколько теорем о «типичных» свойствах есть в в теории гладких динамических систем. Как правило, эти теоремы доказываются редукцией к теореме Сарда, особенно в локальной теории бифуркаций^[англ.]. Есть немногочисленные положительные результаты, не связанные с этой редукцией^[3].

Существенная особенность теории гладких динамических систем — это существенное различие понятия общего положения в топологическом и метрическом смысле, соответственно случаи (3) и (4)^[3].

Использование в дифференциальной геометрии многообразий

Понятие общего положения используется также в дифференциальной геометрии многообразий^[3][8][9].

Типичное свойство римановой метрики — множество римановых метрик, удовлетворяющих этому свойству, остаточно^[10].

Предложение. Следующее свойство типично^[10]:

• отображение Пуанкаре для периодической траектории геодезического потока либо гиперболическое, либо закручивающее.

Примеры

Набор точек. Рассмотрим набор из ${\displaystyle m}$ произвольных точек в ${\displaystyle n}$-мерном аффинном пространстве^[1].

Общее положение в пространстве набора точек — свойство ${\displaystyle m}$ точек в ${\displaystyle n}$-мерном аффинном пространстве, заключающееся в том, что никакие ${\displaystyle k}$ из них не лежат в подпространстве размерности ${\displaystyle k-2}$, где ${\displaystyle k=2,3,\dots ,k+1}$. В частности, точки на плоскости находятся в общем положении, если никакие три не лежат на одной прямой^[1].

Требование этого определения избыточно для большинства наборов. В частности, если ${\displaystyle m\geqslant n+1}$, то достаточно предположить, что никакой набор из ${\displaystyle n+1}$ точки не лежит в гиперплоскости^[1].

Прямая и окружность. Рассмотрим расположение прямой и окружности на плоскости^[3].

Общее положение на плоскости прямой и окружности — прямая и окружность либо не пересекаются, либо пересекаются в двух точках^[3].

Две прямые. Рассмотрим расположение двух прямых в трёхмерном пространстве^[11].

Общее положение в трёхмерном пространстве двух прямых — прямые не пересекаются. Другими словами, вложение прямой в трёхмерное пространство трансверсально тогда и только тогда, когда прямые не пересекаются^[11].

Гладкая функция. Рассмотрим гладкую функцию на гладком многообразии^[12].

Гладкая функция общего положения — функция Морса. Другими словами, функция Морса на компактном многообразии имеет только конечное число критических точек^[13].

Два подпространства. Рассмотрим вещественное линейное пространство и два его подпространства, сумма размерностей которых больше размерности исходного пространства^[14].

Общее положение в линейном пространстве двух подпространств — алгебраическая сумма подпространств совпадет со всем пространством^[14].

В частности, два подмногообразия дополнительной размерности в общем положении пересекаются трансверсально^[15].

Примечания

1. Yale P. B. Geometry and symmetry, 1968, p. 164.
2. Аносов Д. В. Общее положение, 1982, стб. 1144.
3. Аносов Д. В. Общее положение, 1982, стб. 1145.
4. Аносов Д. В. Общее положение, 1982, стб. 1144—1145.
5. Мищенко А. С., Стернин Б. Ю., Шаталов В. Е. Лагранжевы многообразия и метод канонического оператора, 1978, § 1.2. Теоремы о трансверсальной регулярности, с. 75—89.
6. Мищенко А. С., Стернин Б. Ю., Шаталов В. Е. Лагранжевы многообразия и метод канонического оператора, 1978, § 1.2. Теоремы о трансверсальной регулярности, с. 82.
7. Мищенко А. С., Стернин Б. Ю., Шаталов В. Е. Лагранжевы многообразия и метод канонического оператора, 1978, § 1.2. Теоремы о трансверсальной регулярности, с. 86.
8. Wall C. T. C. Geometric properties of generic differentiable manifolds, 1977.
9. Клингенберг В. Лекции о замкнутых геодезических, 1982.
10. Клингенберг В. Лекции о замкнутых геодезических, 1982, 3.3. Свойства отображения Пуанкаре. 3.3.6. Дополнение, с. 210.
11. Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, 1978, § 29. Семейства и деформации, с. 207.
12. Мищенко А. С., Стернин Б. Ю., Шаталов В. Е. Лагранжевы многообразия и метод канонического оператора, 1978, § 1.2. Теоремы о трансверсальной регулярности, с. 85.
13. Мищенко А. С., Стернин Б. Ю., Шаталов В. Е. Лагранжевы многообразия и метод канонического оператора, 1978, § 1.2. Теоремы о трансверсальной регулярности, с. 89.
14. Мищенко А. С., Стернин Б. Ю., Шаталов В. Е. Лагранжевы многообразия и метод канонического оператора, 1978, § 1.2. Теоремы о трансверсальной регулярности, с. 76.
15. Мищенко А. С., Стернин Б. Ю., Шаталов В. Е. Лагранжевы многообразия и метод канонического оператора, 1978, § 1.2. Теоремы о трансверсальной регулярности, с. 78—79.

Источники

• Аносов Д. В. Общее положение // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 3 Коо—Од. М.: «Советская Энциклопедия», 1982. 1184 стб., ил. Стб. 1144—1145.
• Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 304 с., ил.
• Клингенберг, В. Лекции о замкнутых геодезических / Пер. с англ. А. И. Грюнталя под ред. Д. В. Аносова. М.: Мир, 1982. 414 с., ил. [Klingenberg Wilhelm. Lectures on closed geodesics. Berlin·Heidelberg·New York: Springer-Verlag, 1978.]
• Мищенко А. С., Стернин Б. Ю., Шаталов В. Е. Лагранжевы многообразия и метод канонического оператора. М.: Наука, 1978. 352 с., ил.
• Wall C. T. C. Geometric properties of generic differentiable manifolds // Geometry and Topology. Proceedings of the School Held at the Instituto de Matematica Pura e Aplicada CNPq, Rio de Janeiro, July 1976. Conference proceedings, 1977. (Lecture Notes in Mathematics (LNM, volume 597).) P. 707–774.
• Yale P. B. Geometry and symmetry. San Francisco·Cambridge·London·Amsterdam: Holden-Day, 1968. Pp. xi, 288. (Holden-Day series in mathematics)