Loading AI tools
Из Википедии, свободной энциклопедии
Обобщённая арифметическая прогрессия — множество чисел или элементов произвольной группы , представимое в виде
для некоторых .[1]
Прогрессия называется собственной, если все числа вида различны, то есть она содержит элементов.
Рангом (или размерностью) прогрессии называется количество слагаемых в представлении каждого элемента (в обозначениях выше число ).
При обобщённую арифметическую прогрессию также называют[2] -мерным кубом (поскольку в него существует линейное отображения из ).
При множество представляет собой обычную арифметическую прогрессию.
Обобщённые арифметические прогрессии представляют собой конструкцию менее структурированную чем обычная арифметическая прогрессия, но тем не менее всё же имеющую нетривиальную структуру (когда размер прогрессии велик, а ранг мал). Это делает их удобным инструментом для изучения и обобщения теорем арифметической комбинаторики, связанных с выводом структуры из численных характеристик множества, таких как аддитивная энергия, коэффициент удвоения и т. д.[3]
Некоторые структурные теоремы аддитивной комбинаторики доказывают существование обобщённой арифметической прогрессии достаточно малого ранга и большого размера в достаточно упорядоченных множествах или возможность покрытия такого множества обобщённой арифметической прогрессий небольшого ранга и небольшого же (ограниченного некоторой формулой от размера множества) размера.
Обобщённые арифметиеские прогрессии могут использоваться для доказательства теоремы Рота.[4]
Вообще доказать присутствие во множестве обобщённых арифметических прогрессий, исходя из каких-то известных фактов об этом множестве, часто легче, чем доказать присутствие обычных арифметических прогрессий.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.