У этого термина существуют и другие значения, см.
Группа.
А́белева (или коммутати́вная) гру́ппа — группа, в которой групповая операция является коммутативной; иначе говоря, группа абелева, если для любых двух элементов .
Обычно для обозначения групповой операции в абелевой группе используется аддитивная запись, то есть групповая операция обозначается знаком и называется сложением[1]
Название дано в честь норвежского математика Нильса Абеля.
- Группа параллельных переносов в линейном пространстве.
- Любая циклическая группа абелева. Действительно, для любых и верно, что
- .
- В частности, множество целых чисел есть коммутативная группа по сложению; это же верно и для классов вычетов
- Любое кольцо является коммутативной (абелевой) группой по своему сложению; примером может служить поле вещественных чисел с операцией сложения чисел.
- Обратимые элементы коммутативного кольца (в частности, ненулевые элементы любого поля) образуют абелеву группу по умножению. Например, абелевой группой является множество ненулевых вещественных чисел с операцией умножения.
- Конечно порождённые абелевы группы изоморфны прямым суммам циклических групп.
- Конечные абелевы группы изоморфны прямым суммам конечных циклических групп.
- Любая абелева группа имеет естественную структуру модуля над кольцом целых чисел. Действительно, пусть — натуральное число, а — элемент коммутативной группы с операцией, обозначаемой +, тогда можно определить как ( раз) и .
- Множество гомоморфизмов всех групповых гомоморфизмов из в само является абелевой группой. Действительно, пусть — два гомоморфизма групп между абелевыми группами, тогда их сумма , заданная как , тоже является гомоморфизмом (это неверно, если не является коммутативной группой).
- Понятие абелевости тесно связано с понятием центра группы — множества, состоящего из тех её элементов, которые коммутируют с каждым элементом группы , и играющего роль своеобразной «меры абелевости». Группа абелева тогда и только тогда, когда её центр совпадает со всей группой.
Основополагающая теорема о структуре конечной абелевой группы утверждает, что любая конечная абелева группа может быть разложена в прямую сумму своих циклических подгрупп, порядки которых являются степенями простых чисел. Это следствие общей теоремы о структуре конечнопорождённых абелевых групп для случая, когда группа не имеет элементов бесконечного порядка.
изоморфно прямой сумме и тогда и только тогда, когда и взаимно просты.
Следовательно, можно записать абелеву группу в форме прямой суммы
двумя различными способами:
- Где числа степени простых
- Где делит , которое делит , и так далее до .
Например, может быть разложено в прямую сумму двух циклических подгрупп порядков 3 и 5: . То же можно сказать про любую абелеву группу порядка пятнадцать; в результате приходим к выводу, что все абелевы группы порядка 15 изоморфны.
- Дифференциальной группой называется абелева группа , в которой задан эндоморфизм такой, что . Этот эндоморфизм называется дифференциалом. Элементы дифференциальных групп называются цепями, элементы ядра — циклами, элементы образа — границами[2].
- Кольцо — абелева группа, на которой задана дополнительная бинарная операция «умножения», удовлетворяющая аксиомам дистрибутивности.
- Метабелева группа — группа, коммутант которой абелев.
- Нильпотентная группа — группа, центральный ряд которой конечен.
- Разрешимая группа — группа, ряд коммутантов которой стабилизируется на тривиальной группе.
- Дедекиндова группа — группа, всякая подгруппа которой нормальна.