Модель Хестона

В финансовой математике, модель Хестона — это математическая модель, предложенная Стивеном Хестоном, которая описывает совместную динамику цены базового актива и его волатильности^[1]. Поведение волатильности предполагается стохастичным: волатильность актива не только не является постоянным параметром модели, но изменяется согласно определённому случайному процессу.

Базовая модель Хестона

Базовая модель Хестона предполагает, что S_t, цена актива, определяется стохастическим процессом:^[2]

${\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+{\sqrt {\nu _{t}}}S_{t}\,dW_{t}^{S}\,}$

где ${\displaystyle \nu _{t}}$, мгновенная дисперсия, задаётся процессом CIR:

${\displaystyle d\nu _{t}=\kappa (\theta -\nu _{t})\,dt+\xi {\sqrt {\nu _{t}}}\,dW_{t}^{\nu }\,}$

а ${\displaystyle {\scriptstyle dW_{t}^{S},\;dW_{t}^{\nu }}}$ — винеровские процессы (то есть случайные блуждания) с корреляцией ρ, или, эквивалентно, с ковариацией ρ dt.

Параметры, использованные выше, имеют следующий смысл:

• μ — частота возвращения актива.
• θ — длинная дисперсий, или длинное средние дисперсии цены; при стремлении t к бесконечности, ожидаемое значение ν_t стремится к θ.
• κ — частота, с которой ν_t возвращается к θ.
• ξ — волатильность волатильности; как и предполагает название, она определяет дисперсию ν_t.

Если параметры подчиняются следующему условию (известному как условие Феллера), тогда процесс ${\displaystyle \nu _{t}}$ строго положителен^[3]

${\displaystyle 2\kappa _{t}\theta \geq \xi ^{2}\,.}$

Обобщения

Для того, чтобы принять во внимание все свойства профиля волатильности, модель Хестона не является достаточно гибкой. Может быть необходимо добавить к ней дополнительные степени свободы.

Первое прямое обобщение это позволить параметрам зависеть от времени. Тогда динамика модели имеет вид:

${\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+{\sqrt {\nu _{t}}}S_{t}\,dW_{t}^{S}\,.}$

Здесь ${\displaystyle \nu _{t}}$, мгновенная дисперсия, задаётся зависящим от времени процессом CIR:

${\displaystyle d\nu _{t}=\kappa _{t}(\theta _{t}-\nu _{t})\,dt+\xi _{t}{\sqrt {\nu _{t}}}\,dW_{t}^{\nu }\,}$

а ${\displaystyle {\scriptstyle dW_{t}^{S},\;dW_{t}^{\nu }}}$ — винеровские процессы (то есть случайные блуждания) с корреляцией ρ. Для того, чтобы сохранить трактовку модели необходимо потребовать, чтобы параметры были кусочно-постоянными.

Другой подход состоит в добавлении второго процесса с независимой от первого дисперсией.

${\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+{\sqrt {\nu _{t}^{1}}}S_{t}\,dW_{t}^{S,1}+{\sqrt {\nu _{t}^{2}}}S_{t}\,dW_{t}^{S,2}\,}$

${\displaystyle d\nu _{t}^{1}=\kappa ^{1}(\theta ^{1}-\nu _{t}^{1})\,dt+\xi ^{1}{\sqrt {\nu _{t}^{1}}}\,dW_{t}^{\nu ^{1}}\,}$

${\displaystyle d\nu _{t}^{2}=\kappa ^{2}(\theta ^{2}-\nu _{t}^{2})\,dt+\xi ^{2}{\sqrt {\nu _{t}^{2}}}\,dW_{t}^{\nu ^{2}}\,}$

Существенное обобщение модели Хестона, делающее стохастически не только волатильность, но и среднее было предложено Лин Ченом (1996). В модели Чена динамика мгновенной процентной ставки устанавливается формулами:

${\displaystyle dr_{t}=(\theta _{t}-r_{t})\,dt+{\sqrt {r_{t}}}\,\sigma _{t}\,dW_{t},}$

${\displaystyle d\alpha _{t}=(\zeta _{t}-\alpha _{t})\,dt+{\sqrt {\alpha _{t}}}\,\sigma _{t}\,dW_{t},}$

${\displaystyle d\sigma _{t}=(\beta _{t}-\sigma _{t})\,dt+{\sqrt {\sigma _{t}}}\,\eta _{t}\,dW_{t}.}$

Реализация

Тонкости реализации модели Хестона с правильным учётом числа оборотов вокруг начала координат в комплексной плоскости для функции комплексного логарифма, составляющего часть решения для цены опциона, было впервые приведено в статье Кристиана Кала и Петера Якеля.^[4]

Информация о том, как использовать преобразование Фурье для оценки опционов приведено в статье Питера Карра и Дилипа Мадана.^[5]

Обобщение модели Хестона со случайными процентными ставками приведено в статье Гржелака и Остерли.^[6]

Вывод замкнутого решения для цен опционов для зависящей от времени модели Хестона приведён в статье Гобе и др.^[7]

Вывод замкнутого решения для цен опционов для двойной модели Хестона приведён в статьях Кристоферсена^[8] и Готье. ^[9]

См. также

• Стохастическая волатильность
• Нейтральная к риску мера (другое название: эквивалентная мартингальная мера)
• Теорема Гирсанова
• Мартингал
• Модель волатильности SABR

Примечания

1. Steven L. Heston. A Closed-Form Solution for Options with Stochastic Volatility with Applications to Bond and Currency Options // The Review of Financial Studies. — 1993. — Т. 6, вып. 2. — С. 327–343. — ISSN 0893-9454. Архивировано 4 февраля 2020 года.
2. Wilmott, P. (2006), Paul Wilmott on quantitative finance (2nd ed.), p. 861
3. Albrecher, H.; Mayer, P.; Schoutens, W.; Tistaert, J. (2007), Wilmott Magazine: 83—92 {{citation}}: |title= пропущен или пуст (справка); Неизвестный параметр |month= игнорируется (справка)
4. Kahl, C.; Jäckel, P. (2005), "Not-so-complex logarithms in the Heston model" (PDF), Wilmott Magazine: 74—103, Архивировано из оригинала (PDF) 17 июня 2013, Дата обращения: 23 июля 2013
5. Carr, P.; Madan, D. (1999), "Option valuation using the fast Fourier transform" (PDF), Journal of Computational Finance, 2 (4): 61—73, Архивировано из оригинала (PDF) 16 мая 2013, Дата обращения: 23 июля 2013
6. Grzelak, L.A.; Oosterlee, C.W. (2011), "On the Heston Model with Stochastic Interest Rates", SIAM J. Fin. Math., 2: 255—286
7. Benhamou, E.; Gobet, E.; Miri, M. (2009), "Источник", SSRN Working Paper, Архивировано из оригинала 19 августа 2012, Дата обращения: 23 июля 2013
8. Christoffersen, P.; Heston, S.; Jacobs, K. (2009), "Источник", CREATES Research Paper, Архивировано из оригинала 18 октября 2012, Дата обращения: 23 июля 2013
9. Gauthier, P.; Possamai, D. (2009), "Источник", SSRN Working Paper, Архивировано из оригинала 5 ноября 2015, Дата обращения: 23 июля 2013