Мартингал

Эта статья — о случайных процессах. О системе в азартных играх см. Мартингейл; об элементе конской упряжи см. Мартингал (конская упряжь).

Мартинга́л (также мартинге́йл в теории вероятности) в теории случайных процессов — такой случайный процесс, что наилучшим (среднеквадратичным) предсказанием поведения процесса в будущем является его настоящее состояние.

Остановленное броуновское движение как пример мартингала

Мартингалы с дискретным временем

• Последовательность случайных величин ${\displaystyle \{X_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ называется мартинга́лом с дискре́тным вре́менем, если

1. ${\displaystyle {\mathsf {E}}|X_{n}|<\infty ,\quad n\in \mathbb {N} }$;
2. ${\displaystyle {\mathsf {E}}[X_{n+1}\mid X_{1},\ldots ,X_{n}]=X_{n},\quad n\in \mathbb {N} }$.

• Пусть дана другая последовательность случайных величин ${\displaystyle \{Y_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$. Тогда последовательность случайных величин ${\displaystyle \{X_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ называется мартингалом относительно ${\displaystyle \{Y_{n}\}}$ или ${\displaystyle \{Y_{n}\}}$-мартингалом, если

1. ${\displaystyle {\mathsf {E}}|X_{n}|<\infty ,\quad n\in \mathbb {N} }$;
2. ${\displaystyle {\mathsf {E}}[X_{n+1}\mid Y_{1},\ldots ,Y_{n}]=X_{n},\quad n\in \mathbb {N} }$.

Мартингалы с непрерывным временем

Пусть есть вероятностное пространство ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ с заданной на нём фильтрацией ${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}\}_{t\in T}}$, где ${\displaystyle T\subset \mathbb {R} }$. Тогда случайный процесс ${\displaystyle \{X_{t}\}_{t\in T}}$ называется мартингалом относительно ${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}\}}$, если

1. ${\displaystyle X_{t}}$ измерима относительно ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$ для любого ${\displaystyle t\in T}$.
2. ${\displaystyle {\mathsf {E}}|X_{t}|<\infty ,\quad t\in T}$.
3. ${\displaystyle {\mathsf {E}}[X_{t}\mid {\mathcal {F}}_{s}]=X_{s}}$ почти наверное, ${\displaystyle \quad \forall s,t\in T,\;s\leq t}$.^[1]

Последний пункт означает, что ${\displaystyle \int \limits _{A}X_{t}dP=\int \limits _{A}X_{s}dP}$ ${\displaystyle \forall A\in {\mathcal {F}}_{s}}$.

Если в качестве ${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}\}}$ взята естественная фильтрация ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}=\sigma \{X_{s}\mid s\leq t\}}$, то ${\displaystyle \{X_{t}\}}$ называют просто мартингалом.

Суб- и супермартингалы

• Пусть дана последовательность случайных величин ${\displaystyle \{Y_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$. Тогда последовательность случайных величин ${\displaystyle \{X_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ называется су́б(су́пер)мартингалом относительно ${\displaystyle \{Y_{n}\}}$, если

1. ${\displaystyle {\mathsf {E}}|X_{n}|<\infty ,\quad n\in \mathbb {N}$ ;}
2. ${\displaystyle {\mathsf {E}}[X_{n+1}\mid Y_{1},\ldots ,Y_{n}]\geq (\leq )X_{n},\quad n\in \mathbb {N} .}$

• Случайный процесс ${\displaystyle \{X_{t}\}_{t\in T},\;T\subset \mathbb {R} }$ называется суб(супер)мартингалом относительно ${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}\}}$, если

1. ${\displaystyle X_{t}}$ измерима относительно ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$ для любого ${\displaystyle t\in T}$.
2. ${\displaystyle {\mathsf {E}}|X_{t}|<\infty ,\quad t\in T}$.
3. ${\displaystyle {\mathsf {E}}[X_{t}\mid {\mathcal {F}}_{s}]\geq (\leq )X_{s},\quad \forall s,t\in T,\;s\leq t}$.

Если в качестве ${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}\}}$ взята естественная фильтрация ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}=\sigma \{X_{s}\mid s\leq t\}}$, то ${\displaystyle \{X_{t}\}}$ называют просто суб(супер)мартингалом.

Свойства

• Случайный процесс является мартингалом тогда и только тогда, когда он является одновременно субмартингалом и супермартингалом.
• Если ${\displaystyle \{X_{t}\}}$ — мартингал, то ${\displaystyle {\mathsf {E}}X_{t}=\mathrm {const} }$.
• Если ${\displaystyle \{X_{t}\}}$ — субмартингал, то ${\displaystyle \{-X_{t}\}}$ — супермартингал.
• Если ${\displaystyle \{X_{t}\}}$ является мартингалом, а ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ — выпуклая функция, то ${\displaystyle \{f(X_{t})\}}$ — субмартингал. Если ${\displaystyle f}$ — вогнутая функция, то ${\displaystyle \{f(X_{t})\}}$ — супермартингал.
• Вообще говоря, мартингал не является марковским процессом.
  • Верно и обратное: марковский процесс не обязан быть мартингалом.
• Верна теорема^[англ.] о сходимости мартингалов.
• Теорема Дуба об остановке приводит условия, гарантирующие, что матожидаемое мартингала в момент остановки равно его начальному ожидаемому значению.

Примеры

• Рассмотрим игру, при которой подбрасывается монета, и при выпадении «орла» игрок выигрывает 1 руб., а при выпадении «решки» проигрывает 1 руб. Тогда:
  • если монета уравновешена, то состояние игрока как функция количества игр является мартингалом;
  • если выпадение «орла» более вероятно, то состояние игрока — субмартингал;
  • если выпадение «решки» более вероятно, то состояние игрока — супермартингал.

• Винеровский процесс (это математическая модель броуновского движения) является мартингалом.

Примечания

1. А.В.Булинский, А.Н.Ширяев. Теория случайных процессов Архивная копия от 15 февраля 2017 на Wayback Machine. Физматлит, 2005, С. 9.