Постоянная Апери

Постоя́нная Апери́  (англ. Apéry's constant, фр. Constante d'Apéry) — вещественное число, обозначаемое ${\displaystyle \zeta (3)}$ (иногда ${\displaystyle \zeta _{3}}$), которое равно сумме обратных к кубам целых положительных чисел и, следовательно, является частным значением дзета-функции Римана:

${\displaystyle \zeta (3)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}}}={\frac {1}{1^{3}}}+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+\dots }$.

Вещественные константы ζ(3) — ρ — √2 — √3 — √5 — ln 2 — φ,Φ — ψ — α,δ — e — eπ и π

Численное значение постоянной выражается бесконечной непериодической десятичной дробью^[1][2]:

${\displaystyle \displaystyle \zeta (3)=}$ 1,202 056 903 159 594 285 399 738 161 511 449 990 764 986 292 340 498 881 792 271 555 3…

Названа в честь Роже Апери, доказавшего в 1978 году, что ${\displaystyle \zeta (3)}$ является иррациональным числом (теорема Апери^{[англ.][3][4]}). Изначальное доказательство носило сложный технический характер, позднее найден простой вариант доказательства с использованием многочленов Лежандра. Неизвестно, является ли постоянная Апери трансцендентным числом.

Эта постоянная давно привлекала интерес математиков — ещё в 1735 году Леонард Эйлер^[5][6] вычислил её с точностью до 16 значащих цифр (1,202056903159594).

Приложения в математике и физике

Двухпетлевая диаграмма Фейнмана, результат для которой содержит ${\displaystyle \zeta (3)}$

В математике постоянная Апери встречается во многих приложениях. В частности, величина, обратная ${\displaystyle \zeta (3)}$, даёт вероятность того, что любые три случайным образом выбранных положительных целых числа будут взаимно просты — в том смысле, что при ${\displaystyle N\to \infty }$ вероятность того, что три положительных целых числа, меньших, чем ${\displaystyle {\textstyle {N}}}$ (и выбранных случайным образом) будут взаимно простыми, стремится к ${\displaystyle 1/\zeta (3)}$.

Постоянная Апери естественным образом возникает в ряде проблем физики, включая поправки второго (и выше) порядков к аномальному магнитному моменту электрона в квантовой электродинамике. Например, результат для двухпетлевой диаграммы Фейнмана, изображённой на рисунке, даёт ${\displaystyle 6\zeta (3)}$ (здесь предполагается 4-мерное интегрирование по импульсам внутренних петель, содержащих только безмассовые виртуальные частицы, а также соответствующая нормировка, включая степень импульса внешней частицы ${\displaystyle k}$). Другой пример — двумерная модель Дебая.

Связь с другими функциями

Постоянная Апери связана с частным значением полигамма-функции второго порядка:

${\displaystyle \zeta (3)=-{\tfrac {1}{2}}\,\psi ^{(2)}(1)}$

и появляется в разложении гамма-функции в ряд Тейлора:

${\displaystyle \Gamma (1+\varepsilon )=e^{-\gamma \varepsilon }\left[1+{\tfrac {1}{12}}\pi ^{2}\varepsilon ^{2}-{\tfrac {1}{3}}\zeta (3)\varepsilon ^{3}+O(\varepsilon ^{4})\right]}$,

где в виде ${\displaystyle e^{-\gamma \varepsilon }}$ факторизуются вклады, содержащие постоянную Эйлера — Маскерони ${\displaystyle {\textstyle {\gamma }}}$.

Постоянная Апери также связана со значениями трилогарифма ${\displaystyle \mathrm {Li} _{3}(z)}$ (частный случай полилогарифма ${\displaystyle \mathrm {Li} _{n}(z)}$):

${\displaystyle \mathrm {Li} _{3}(1)=\zeta (3)}$,

${\displaystyle \mathrm {Li} _{3}\left({\tfrac {1}{2}}\right)={\tfrac {1}{6}}(\ln 2)^{3}-{\tfrac {1}{12}}\pi ^{2}\ln 2+{\tfrac {7}{8}}\,\zeta (3)}$.

Представления в виде рядов

Некоторые другие ряды, члены которых обратны к кубам натуральных чисел, также выражаются через постоянную Апери:

${\displaystyle \zeta (3)={\tfrac {4}{3}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k^{3}}}={\tfrac {4}{3}}\left(1-{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}-{\frac {1}{4^{3}}}+\cdots \right)}$,

${\displaystyle \zeta (3)={\tfrac {8}{7}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)^{3}}}={\tfrac {8}{7}}\left(1+{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{5^{3}}}+{\frac {1}{7^{3}}}+\cdots \right)}$.

Другие известные результаты — сумма ряда, содержащего гармонические числа ${\displaystyle {\textstyle {H_{k}}}}$:

${\displaystyle \zeta (3)={\tfrac {1}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {H_{k}}{k^{2}}}}$,

а также двукратная сумма:

${\displaystyle \zeta (3)={\tfrac {1}{2}}\sum _{j=1}^{\infty }\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{jk(j+k)}}}$.

Для доказательства иррациональности ${\displaystyle \zeta (3)}$ Роже Апери^[3] пользовался представлением:

${\displaystyle \zeta (3)={\tfrac {5}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}{\frac {(k!)^{2}}{k^{3}(2k)!}}={\tfrac {5}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k^{3}{\binom {2k}{k}}}}}$,

где ${\displaystyle {\textstyle {\binom {2k}{k}}={\frac {(2k)!}{k!^{2}}}}}$ — биномиальный коэффициент.

В 1773 году Леонард Эйлер^[7] привёл представление в виде ряда^[8] (которое впоследствии было несколько раз заново открыто в других работах):

${\displaystyle \zeta (3)={\tfrac {1}{7}}\pi ^{2}\left[1-4\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2k)}{(2k+1)(2k+2)2^{2k}}}\right]}$,

в котором значения дзета-функции Римана чётных аргументов могут быть представлены как ${\displaystyle {\textstyle {\zeta (2k)=(-1)^{k+1}(2\pi )^{2k}B_{2k}/(2(2k)!)}}}$, где ${\displaystyle {\textstyle {B_{2k}}}}$ — числа Бернулли.

Рамануджан дал несколько представлений в виде рядов, которые замечательны тем, что они обеспечивают несколько новых значащих цифр на каждой итерации. Один пример^[9]:

${\displaystyle \zeta (3)={\tfrac {7}{180}}\pi ^{3}-2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}-1)}}}$

Саймон Плафф^[англ.] получил ряды другого типа^[10]

${\displaystyle \zeta (3)=14\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}\sinh(\pi k)}}-{\tfrac {11}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}-1)}}-{\tfrac {7}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}+1)}}\;,}$

а также аналогичные представления для других постоянных ${\displaystyle \zeta (2n+1)}$.

Были также получены другие представления в виде рядов:

${\displaystyle \zeta (3)={\tfrac {1}{4}}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}{\frac {(56k^{2}-32k+5)(k-1)!^{3}}{(2k-1)^{2}(3k)!}}}$

${\displaystyle \zeta (3)={\tfrac {8}{7}}-{\tfrac {8}{7}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {{\left(-1\right)}^{k}\,2^{-5+12\,k}\,k\,\left(-3+9\,k+148\,k^{2}-432\,k^{3}-2688\,k^{4}+7168\,k^{5}\right)\,{k!}^{3}\,{\left(-1+2\,k\right)!}^{6}}{{\left(-1+2\,k\right)}^{3}\,\left(3\,k\right)!\,{\left(1+4\,k\right)!}^{3}}}}$

${\displaystyle \zeta (3)={\tfrac {1}{64}}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {(205k^{2}+250k+77)\cdot k!^{10}}{(2k+1)!^{5}}}}$

${\displaystyle \zeta (3)={\tfrac {1}{24}}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {((2k+1)!(2k)!k!)^{3}(126392k^{5}+412708k^{4}+531578k^{3}+336367k^{2}+104000k+12463)}{(3k+2)!\cdot (4k+3)!^{3}}}}$

Некоторые из этих представлений были использованы для вычисления постоянной Апери со многими миллионами значащих цифр.

В 1998 году получено представление в виде ряда^[11], которое даёт возможность вычислить произвольный бит постоянной Апери.

Представления в виде интегралов

Существует также большое количество различных интегральных представлений для постоянной Апери, начиная от тривиальных формул типа

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{\infty }\!{\frac {x^{2}}{e^{x}-1}}\,dx={\frac {2}{3}}\int \limits _{0}^{\infty }\!{\frac {x^{2}}{e^{x}+1}}\,dx}$

или

${\displaystyle \zeta (3)=\int \limits _{0}^{1}\!{\frac {\ln(x)\ln(1-x)}{x}}\,dx}$

следующих из простейших интегральных определений дзета-функции Римана^[12], до достаточно сложных, таких, как

${\displaystyle \zeta (3)=\pi \!\!\int \limits _{0}^{\infty }\!{\frac {\cos(2\,\mathrm {arctg} \,x)}{\left(x^{2}+1\right){\big [}\mathrm {ch} {\big (}{\frac {1}{2}}\pi x{\big )}{\big ]}^{2}}}\,dx\qquad }$ (Иоган Йенсен^[13]),

${\displaystyle \zeta (3)=-{\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{1}\!\!\int \limits _{0}^{1}{\frac {\ln(xy)}{\,1-xy\,}}\,dx\,dy\qquad }$ (Фритс Бёкерс^{[англ.][14]}),

${\displaystyle \zeta (3)=\,{\frac {8\pi ^{2}}{7}}\!\!\int \limits _{0}^{1}\!{\frac {x\left(x^{4}-4x^{2}+1\right)\ln \ln {\frac {1}{x}}}{\,(1+x^{2})^{4}\,}}\,dx\qquad }$ (Ярослав Благушин^[15]).

Цепные дроби

Цепная дробь для константы Апери (последовательность A013631 в OEIS) выглядит следующим образом:

${\displaystyle \zeta (3)=[1;4,1,18,1,1,1,4,1,9,9,2,1,1,1,2,7,1,1,7,11,1,1,1,\cdots ]=}$

${\displaystyle =1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{18+{\cfrac {1}{1+\ldots }}}}}}}}\;}$

Первую обобщённую цепную дробь для константы Апери, имеющую закономерность, открыли независимо Стилтьес и Рамануджан:

${\displaystyle \zeta (3)=1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1^{3}}{1+{\cfrac {1^{3}}{12+{\cfrac {2^{3}}{1+{\cfrac {2^{3}}{20+{\cfrac {3^{3}}{1+{\cfrac {3^{3}}{28+{\cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {n^{3}}{1+{\cfrac {n^{3}}{4(2n+1)+\dots }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

Она может быть преобразована к виду:

${\displaystyle \zeta (3)=1+{\cfrac {1}{5-{\cfrac {1^{6}}{21-{\cfrac {2^{6}}{55-{\cfrac {3^{6}}{119-{\cfrac {4^{6}}{225-{\cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {n^{6}}{(2n^{3}+3n^{2}+11n+5)+\dots }}}}}}}}}}}}}}}$

Апери смог ускорить сходимость цепной дроби для константы:

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {6}{5}}-{\cfrac {1^{6}}{117-{\cfrac {2^{6}}{535-{\cfrac {3^{6}}{1436-{\cfrac {4^{6}}{3105-{\cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {n^{6}}{(34n^{3}+51n^{2}+27n+5)+\dots }}}}}}}}}}}}}$^[16][17]

Вычисление десятичных цифр

Число известных значащих цифр постоянной Апери ${\displaystyle \zeta (3)}$ значительно выросло за последние десятилетия благодаря как увеличению компьютерных мощностей, так и улучшению алгоритмов^[18].

Число известных значащих цифр постоянной Апери ${\displaystyle \zeta (3)}$

Дата	Количество значащих цифр	Авторы вычисления
1735	16	Леонард Эйлер[5][6]
1887	32	Томас Иоаннес Стилтьес
1996	&&&&&&&&&0520000.&&&&&0520 000	Greg J. Fee & Simon Plouffe
1997	&&&&&&&&01000000.&&&&&01 000 000	Bruno Haible & Thomas Papanikolaou
1997, май	&&&&&&&010536006.&&&&&010 536 006	Patrick Demichel
1998, февраль	&&&&&&&014000074.&&&&&014 000 074	Sebastian Wedeniwski
1998, март	&&&&&&&032000213.&&&&&032 000 213	Sebastian Wedeniwski
1998, июль	&&&&&&&064000091.&&&&&064 000 091	Sebastian Wedeniwski
1998, декабрь	&&&&&&0128000026.&&&&&0128 000 026	Sebastian Wedeniwski[19]
2001, сентябрь	&&&&&&0200001000.&&&&&0200 001 000	Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
2002, февраль	&&&&&&0600001000.&&&&&0600 001 000	Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
2003, февраль	&&&&&01000000000.&&&&&01 000 000 000	Patrick Demichel & Xavier Gourdon
2006, апрель	&&&&010000000000.&&&&&010 000 000 000	Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo[20]
2009, январь	&&&&015510000000.&&&&&015 510 000 000	Alexander J. Yee & Raymond Chan[21]
2009, март	&&&&031026000000.&&&&&031 026 000 000	Alexander J. Yee & Raymond Chan[21]
2010, сентябрь	&&&0100000001000.&&&&&0100 000 001 000	Alexander J. Yee[22]
2013, сентябрь	&&&0200000001000.&&&&&0200 000 001 000	Robert J. Setti[22]
2015, август	&&&0250000000000.&&&&&0250 000 000 000	Ron Watkins[22]
2015, декабрь	&&&0400000000000.&&&&&0400 000 000 000	Dipanjan Nag[22]
2017, август	&&&0500000000000.&&&&&0500 000 000 000	Ron Watkins[22]
2019, май	&&01000000000000.&&&&&01 000 000 000 000	Ian Cutress[22]
2020, июль	&&01200000000000.&&&&&01 200 000 000 000	Seungmin Kim[23]

Другие значения дзета-функции в нечётных точках

Существует много исследований, посвящённых другим значениям дзета-функции Римана в нечётных точках ${\displaystyle \zeta (2n+1)}$ при ${\displaystyle n>1}$. В частности, в работах Вадима Зудилина^[англ.] и Тангая Ривоаля показано, что иррациональными является бесконечное множество чисел ${\displaystyle \zeta (2n+1)}$^[24], а также что по крайней мере одно из чисел ${\displaystyle \zeta (5)}$, ${\displaystyle \zeta (7)}$, ${\displaystyle \zeta (9)}$, или ${\displaystyle \zeta (11)}$ является иррациональным^[25].

Примечания

1. Simon Plouffe, Zeta(3) or Apery constant to 2000 places (англ.), Архивировано из оригинала (HTML) 5 февраля 2008, Дата обращения: 8 февраля 2011 {{citation}}: |archive-date= / |archive-url= несоответствие временной метки; предлагается 5 февраля 2008 (справка)
2. последовательность A002117 в OEIS
3. Roger Apéry (1979), "Irrationalité de ζ(2) et ζ(3)", Astérisque (фр.), 61: 11–13
4. A. van der Poorten (1979), "A proof that Euler missed... Apéry's proof of the irrationality of ζ(3). An informal report" (PDF), The Mathematical Intelligencer (англ.), 1: 195–203, doi:10.1007/BF03028234, Архивировано из оригинала (PDF) 6 июля 2011, Дата обращения: 8 февраля 2011 {{citation}}: |archive-date= / |archive-url= несоответствие временной метки; предлагается 6 июля 2011 (справка)
5. Leonhard Euler (1741), "Inventio summae cuiusque seriei ex dato termino generali (13 октября 1735)" (PDF), Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae (лат.), 8: 173–204, Архивировано из оригинала (PDF) 23 июня 2011, Дата обращения: 9 февраля 2011 {{citation}}: |archive-date= / |archive-url= несоответствие временной метки; предлагается 23 июня 2011 (справка)
6. Leonhard Euler (translation by Jordan Bell, 2008), "Finding the sum of any series from a given general term" (PDF), arXiv:0806.4096 (англ.), Архивировано из оригинала (PDF) 2021-06-28, Дата обращения: 2011-02-09 {{citation}}: Проверьте значение даты: |year= (справка)CS1 maint: year (ссылка)
7. Leonhard Euler (1773), "Exercitationes analyticae" (PDF), Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae (лат.), 17: 173–204, Архивировано из оригинала (PDF) 17 сентября 2006, Дата обращения: 8 февраля 2011 {{citation}}: |archive-date= / |archive-url= несоответствие временной метки; предлагается 17 сентября 2006 (справка)
8. H. M. Srivastava (2000), "Some Families of Rapidly Convergent Series Representations for the Zeta Functions" (PDF), Taiwanese Journal of Mathematics, 4 (4): 569–598, ISSN 1027-5487, Архивировано (PDF) 19 июля 2011, Дата обращения: 8 февраля 2011 {{citation}}: |archive-date= / |archive-url= несоответствие временной метки; предлагается 19 июля 2011 (справка); Неизвестный параметр |month= игнорируется (справка) Архивная копия от 19 июля 2011 на Wayback Machine
9. Bruce C. Berndt (1989), Ramanujan's notebooks, Part II, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96794-3, Архивировано из оригинала 17 августа 2010, Дата обращения: 8 февраля 2011 {{citation}}: |archive-date= / |archive-url= несоответствие временной метки; предлагается 17 августа 2010 (справка)
10. Simon Plouffe (1998), Identities inspired from Ramanujan Notebooks II, Архивировано из оригинала (HTML) 30 января 2009, Дата обращения: 8 февраля 2011 {{citation}}: |archive-date= / |archive-url= несоответствие временной метки; предлагается 30 января 2009 (справка)
11. D. J. Broadhurst (1998), Polylogarithmic ladders, hypergeometric series and the ten millionth digits of ζ(3) and ζ(5), arXiv (math.CA/9803067), Архивировано из оригинала (PDF) 13 июля 2019, Дата обращения: 8 февраля 2011 {{citation}}: |archive-date= / |archive-url= несоответствие временной метки; предлагается 13 июля 2019 (справка)
12. Г. М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления (7-е изд.), с. 769. Наука, Москва, 1969
13. Johan Ludwig William Valdemar Jensen. Note numéro 245. Deuxième réponse. Remarques relatives aux réponses du MM. Franel et Kluyver. L’Intermédiaire des mathématiciens, tome II, pp. 346—347, 1895.
14. F. Beukers A Note on the Irrationality of ζ(2) and ζ(3). Bull. London Math. Soc. 11, pp. 268—272, 1979.
15. Iaroslav V. Blagouchine Rediscovery of Malmsten’s integrals, their evaluation by contour integration methods and some related results. The Ramanujan Journal, vol. 35, no. 1, pp. 21-110, 2014. Архивная копия от 12 декабря 2017 на Wayback Machine PDF Архивная копия от 7 мая 2021 на Wayback Machine
16. Steven R. Finch Mathematical Constants 1.6.6  (неопр.). Дата обращения: 10 августа 2020. Архивировано 28 ноября 2020 года.
17. van der Poorten, Alfred (1979), "A proof that Euler missed ... Apéry's proof of the irrationality of ζ(3)" (PDF), The Mathematical Intelligencer, 1 (4): 195–203, doi:10.1007/BF03028234, Архивировано из оригинала (PDF) 6 июля 2011, Дата обращения: 8 августа 2020 {{citation}}: |archive-date= / |archive-url= несоответствие временной метки; предлагается 6 июля 2011 (справка); templatestyles stripmarker в |title= на позиции 69 (справка)
18. X. Gourdon & P. Sebah, Constants and Records of Computation, numbers.computation.free.fr, Архивировано из оригинала (HTML) 15 января 2011, Дата обращения: 8 февраля 2011 {{citation}}: |archive-date= / |archive-url= несоответствие временной метки; предлагается 15 января 2011 (справка)
19. Sebastian Wedeniwski (2001), The Value of Zeta(3) to 1,000,000 places, Project Gutenberg {{citation}}: |access-date= требует |url= (справка)
20. Xavier Gourdon & Pascal Sebah (2003), The Apéry's constant: ζ(3), Архивировано из оригинала (HTML) 13 ноября 2008, Дата обращения: 8 февраля 2011 {{citation}}: |archive-date= / |archive-url= несоответствие временной метки; предлагается 13 ноября 2008 (справка)
21. Alexander J. Yee & Raymond Chan (2009), Large Computations, Архивировано из оригинала (HTML) 9 декабря 2009, Дата обращения: 8 февраля 2011 {{citation}}: |archive-date= / |archive-url= несоответствие временной метки; предлагается 9 декабря 2009 (справка)
22. Alexander J. Yee (2015), Zeta(3) — Apery's Constant, Архивировано из оригинала (HTML) 18 ноября 2018, Дата обращения: 24 ноября 2018 {{citation}}: |archive-date= / |archive-url= несоответствие временной метки; предлагается 18 ноября 2018 (справка)
23. Apéry’s Constant | Polymath Collector  (неопр.). Дата обращения: 27 февраля 2021. Архивировано 17 октября 2020 года.
24. T. Rivoal (2000), "La fonction zeta de Riemann prend une infnité de valuers irrationnelles aux entiers impairs", Comptes Rendus Acad. Sci. Paris Sér. I Math., 331: 267–270
25. В. В. Зудилин. Одно из чисел ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) иррационально // УМН. — 2001. — Т. 56, вып. 4(340). — С. 149–150.

Ссылки

• Ю. И. Манин, А. А. Панчишкин. I.2.4. Диофантовы приближения и иррациональность ζ(3) // Введение в теорию чисел. — ВИНИТИ, 1990. — Т. 49. — С. 83—89. — 341 с. — (Итоги науки и техники. Серия «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления».).
• V. Ramaswami (1934), "Notes on Riemann's ζ-function" (PDF), J. London Math. Soc., 9: 165–169, doi:10.1112/jlms/s1-9.3.165
• Weisstein, Eric W. Apéry's constant (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.