Диаграмма Венна

Не следует путать с диаграммой Эйлера.

Диаграмма Венна (также используется название диаграмма Эйлера — Венна) — схематичное изображение всех возможных отношений (объединение, пересечение, разность, симметрическая разность) нескольких (часто — трёх) подмножеств универсального множества. На диаграммах Венна универсальное множество ${\displaystyle U}$ изображается множеством точек некоторого прямоугольника, в котором располагаются в виде кругов или других простых фигур все остальные рассматриваемые множества^[1][2].

Диаграмма Венна, показывающая все пересечения греческого, русского и латинского алфавитов (буквы заглавные)

Диаграммы Венна применяются при решении задач вывода логических следствий из посылок, выражаемых на языке формул классического исчисления высказываний и классического исчисления одноместных предикатов^[3], для:

• описания функционирования формальных нейронов Мак-Каллока и сетей из них^[4];
• синтеза надежных сетей из не вполне надежных элементов^[5];
• построения управляющих и самоуправляющихся систем и блочного анализа и синтеза сложных устройств^[6];
• получения логических следствий из заданной информации, минимизации формул исчислений^[7][8].

Диаграммы Венна при помощи ${\displaystyle n}$ фигур изображают все ${\displaystyle 2^{n}}$ комбинаций ${\displaystyle n}$ свойств, то есть конечную булеву алгебру^[9]. При ${\displaystyle n=3}$ диаграмма Эйлера — Венна обычно изображается в виде трёх кругов с центрами в вершинах равностороннего треугольника и одинаковым радиусом, приблизительно равным длине стороны треугольника.

Дальнейшим развитием аппарата диаграмм Венна в классическом исчислении высказываний является аппарат вероятностных диаграмм ^[10], понятие сети диаграмм, использующей диаграммы Венна как операторы^[11].

Они появились в сочинениях английского логика Джона Венна (1834—1923), подробно изложившего их в книге «Символическая логика», изданной в Лондоне в 1881 году.

Связь диаграмм Эйлера и Венна

Пример получения произвольных кругов Эйлера из диаграмм Венна с пустыми (чёрными) множествами

22 (из 256) существенно различных диаграмм Венна с 3 кругами (сверху) и соответствующие им диаграммы Эйлера (снизу)

Диаграммы Эйлера в отличие от диаграмм Венна изображают отношения между множествами: непересекающиеся множества изображены непересекающимися кругами, а подмножества изображены вложенными кругами.

Диаграммы Венна основаны на существенно иной идее, чем круги Эйлера^[12]. Круги Эйлера возникли на основе идей силлогистики Аристотеля. Диаграммы Венна были созданы для решения задач математической логики. Их основная идея разложения на конституенты возникла на основе алгебры логики^[12].

На рис. ниже даны диаграммы Эйлера и Венна для 3 множеств однозначных натуральных чисел:

• ${\displaystyle A=\{1,\,2,\,5\}}$
• ${\displaystyle B=\{1,\,6\}}$
• ${\displaystyle C=\{4,\,7\}}$

• 
  диаграмма Эйлера
• 
  диаграмма Венна

Иногда, если какая-то комбинация свойств соответствует пустому множеству, то эту комбинацию закрашивают. На рисунке справа даны 22 существенно различных диаграмм Венна с 3 кругами (сверху) и соответствующие им диаграммы Эйлера (снизу). Некоторые из диаграмм Эйлера не типичны, а некоторые даже эквивалентны диаграммам Венна. Черные области указывают на то, что в них нет элементов (пустые множества).

См. также

• Диаграмма Эйлера
• Карта Карно

Примечания

1. Столл, 1968, с. 25.
2. Нефедов, 1992, с. 8.
3. Кузичев, 1968, с. 106.
4. Кузичев, 1968, с. 171.
5. Кузичев, 1968, с. 134.
6. Кузичев, 1968, с. 9.
7. Кузичев, 1968, с. 97.
8. Столл, 1968, с. 26.
9. Кузичев, 1968, с. 57.
10. Кузичев, 1968, с. 124.
11. Кузичев, 1968.
12. Кузичев, 1968, с. 25.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. «Диаграмма Венна» (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Эпизод 412 Архивная копия от 21 апреля 2012 на Wayback Machine сериала Numb3rs — изображение диаграмм Венна для ${\displaystyle n=5,\;7,\;11}$.
• Построение диаграмм Венна on-line Архивная копия от 18 мая 2016 на Wayback Machine для ${\displaystyle n=3,4,5}$ и исходный код.

Литература

• Столл Р. Множества, логика, аксиоматические теории. — М.: Мир, 1968. — 231 с.
• Нефедов В.Н., Осипова В.А. Курс дискретной математики. — М.: МАИ, 1992. — 264 с. — ISBN 5-7035-0157-X.
• Кузичев А. С. Диаграммы Венна. История и применения. — М.: Наука, 1968. — 249 с.