Изогональная фигура

Изогональный или вершинно транзитивный многогранник — многогранник, все вершины которого эквивалентны. В частности все вершины окружены одним и тем же видом граней в том же самом (или обратном) порядке и с теми же самыми углами между соответствующими гранями. Термин также может быть применён к многоугольникам или замощениям и так далее.

Формально, мы говорим, что для любых двух вершин существует симметрия политопа, отображающая первую вершину изометрично во вторую. Другой путь сказать то же самое — что группа автоморфизмов политопа транзитивна на его вершинах, или что вершины лежат внутри одной орбиты симметрии.

Все вершины конечной n-мерной изогональной фигуры существуют на (n-1)-сфере.

Термин изогональный давно использовался в контексте многогранников. Термин вершинно транзитивный является синонимом, позаимствованным из современных идей групп симметрии и теории графов.

Четырёхскатный повернутый купол — не являющийся изогональным — демонстрирует, что утверждение «все вершины выглядят одинаковыми» не столь ограничительно, как определение, приведённое выше, которое вовлекает группу изометрий, сохраняющую многогранник или мозаику.

Изогональные многоугольники и бесконечноугольники

Изогональные бесконечноугольники
Изогональные пространственные бесконечноугольники[англ.]

Все правильные многоугольники, бесконечноугольники и правильные звёздчатые многоугольники являются изогональными. Двойственная фигура для изогонального многоугольника — изотоксальный многоугольник.

Некоторые многоугольники с чётным числом сторон и бесконечноугольники, с попеременными двумя длинами сторон, например прямоугольник, являются изогональными.

Все плоские изогональные 2n-угольники имеют диэдральную симметрию (D_n, n=2,3,...) с осями симметрии через середины сторон.

D2	D3	D4	D7
Изогональные прямоугольники и скрещенные прямоугольники[англ.] имеют одно и то же расположение вершин[англ.]	Изогональная гексаграмма с 6 идентичными вершинами и двумя длинами рёбер [1]	Изогональный выпуклый восьмиугольник с синими и красными радиальными осями симметрии	Изогональный «звёздчатый» четырнадцатиугольник с одним типом вершин и двумя типами рёбер [2].

Изогональные 3-мерные многогранники и 2D-мозаики

Изогональные мозаики

Деформированная квадратная мозаика

Деформированная усечённая квадратная мозаика

Изогональный многогранник (3D) и 2D-мозаика имеют единственный вид вершин. Изогональный многогранник с правильными гранями является также однородным многогранником и может быть представлен нотацией вершинной конфигурации, путём последовательного перечисления граней вокруг каждой вершины. Геометрически деформированные варианты однородных многогранников и мозаик могут также быть заданы вершинной конфигурацией.

Изогональные (3D) многогранники

D3d, порядок 12	Th, порядок 24	Oh[англ.], порядок 48
4.4.6	3.4.4.4	4.6.8	3.8.8
Деформированная шестиугольная призма	Деформированный ромбокубооктаэдр	Слегка усечённый кубооктаэдр	Сверхусечённый куб

Изогональные 3D-многогранники и 2D-мозаики можно классифицировать далее

• Правильный — если он также изоэдрален (транзитивен по граням) и изотоксален (рёберно транзитивен). Из этого следует, что все грани многогранника являются правильными многоугольниками одного вида.
• Квазиправильный — если он также изотоксален (рёберно транзитивен), но не изоэдрален (транзитивен по граням).
• Полуправильный — если любая грань является правильным многоугольником, но многогранник не изоэдрален (транзитивен по граням) или не изотоксален (рёберно транзитивен). (Определение полуправильного многогранника зависит от автора. Некоторые авторы исключают тела с диэдральной симметрией или невыпуклые тела.)
• Однородный — если любая грань является правильным многоугольником, т.е. многогранник правильный, семиправильный или полуправильный.
• Благородный^[англ.] — если он также изоэдрален (транзитивен по граням).

Размерность N(> 3) — изогональные многогранники и мозаики

Определения изогональных фигур могут быть распространены на многогранники более высоких размерностей и соты. В общем случае все однородные многогранники являются изогональными, например, однородные 4-мерные многогранники^[англ.] и выпуклые однородные соты^[англ.].

Двойственный многогранник для изогонального многогранника является изотопическим^[англ.], т.е. транзитивен по фасетам.

k-изогональные и k-однородные фигуры

Многогранник или соты называются k-изогональными, если его вершины образуют k классов транзитивности. Более ограничивающий термин, k-однородный определяется как k-изогональная фигура, состоящая только из правильных многоугольников. Они могут быть представлены визуально различными цветами однородной раскраски.

Этот усечённый ромбододекаэдр[англ.] является 2-изогональным, поскольку он содержит два класса транзитивности вершин. Этот многогранник состоит из квадратов и сплюснутых шестиугольников.

Эта полуправильная мозаика является также 2-изогональной (и 2-однородной). Эта мозаика состоит из правильных треугольных и правильных шестиугольных граней.

2-изогональная 9/4 эннеаграмма

См. также

• Изотоксальная фигура (рёберно-транзитивная)
• Изоэдральная фигура (транзитивная по граням)