Тетраэдральная симметрия

Правильный тетраэдр имеет 12 вращательных (сохраняющих ориентацию) симметрий и симметрии^[англ.] порядка 24, включающие комбинацию отражений и вращений.

Точечная группа в трёхмерном пространстве

Симметрии-инволюции Cs, (*) [ ] =	Циклическая симметрия Cnv, (*nn) [n] =	Диэдральная симметрия Dnh, (*n22) [n,2] =
Группы многогранников, [n,3], (*n32)
Тетраэдральная симметрия Td, (*332) [3,3] =	Октаэдральная симметрия Oh, (*432) [4,3] =	Икосаэдральная симметрия Ih, (*532) [5,3] =

Правильный тетраэдр является примером тела с полной тетраэдральной симметрией

Группа всех симметрий изоморфна группе S₄, симметрической группе перестановок четырёх элементов, поскольку имеется ровно одна такая симметрия для каждой перестановки вершин тетраэдра. Множество сохраняющих ориентацию симметрий образует группу, которая является знакопеременной подгруппой A₄ группы S₄.

Детали

Хиральная и полная (или ахиральная тетраэдральная симметрия и пиритоэдральная симметрия) являются симметриями дискретных точек (или, что то же самое, симметриями на сфере). Они входят в кристаллографические группы симметрии кубической сингонии.

В стереографической проекции рёбра тетракисгексаэдра образуют 6 окружностей (или центральных радиальных прямых) на плоскости. Каждая из этих окружностей представляет зеркало в тетраэдральной симметрии. Пересечение этих окружностей дают точки вращения порядка 2 и 3.

Ортогональная проекция	Стереографическая проекция
	4-кратная	3-кратная	2-кратная
Хиральная тетраэдральная симметрия, T, (332), [3,3]+ = [1+,4,3+], =
Пиритоэдральная симметрия,Th, (3*2), [4,3+],
Ахиральная тетраэдральная симметрия, Td, (*332), [3,3] = [1+4,3], =

Хиральная тетраэдральная симметрия

Тетраэдральная группа вращений T с фундаментальной областью. Для триакистетраэдра (см. ниже) область является полной гранью

Тетраэдр можно расположить в 12 различных положениях, используя лишь вращение. Это проиллюстрировано выше в виде графа циклов, с поворотами рёбер на 180° (голубые стрелки) и поворотами вершин на 120° (красные стрелки) .

В триакистетраэдре одна полная грань является фундаментальной областью. Другие тела с той же симметрией можно получить путём изменения ориентации граней. Например, сплющивание некоторого подмножества граней, чтобы образовать одну грань, или заменой одной грани группой граней, или даже кривой поверхностью.

T, 332, [3,3]⁺, или 23 порядка 12 – хиральная или вращательная тетраэдральная симметрия. Имеется три ортогональных 2-кратных осей вращения, наподобие хиральной диэдральной симметрии^[англ.] D₂ или 222, а также четыре дополнительных 3-кратных оси. Эта группа изоморфна A₄, знакопеременной группе 4 элементов. Фактически это группа чётных перестановок четырёх 3-кратных осей: e, (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243), (12)(34), (13)(24), (14)(23).

Классами сопряжённости T являются:

• тождество
• 4 × вращение на 120° по часовой стрелке (если смотреть от вершины): (234), (143), (412), (321)
• 4 × вращение на 120° против часовой стрелки (то же самое)
• 3 × вращение на 180°

Вращения на 180° вместе с тождественным преобразованием образуют нормальную подгруппу типа Dih₂ с факторгруппой типа Z₃. Тремя элементами последней являются тождественное преобразование, "вращение по часовой стрелке " и "вращение против часовой стрелки ", соответствующие перестановкам трёх ортогональных 2-кратных осей с сохранением ориентацию.

A₄ является наименьшей группой, показывающей, что теорема, обратная теореме Лагранжа, в общем случае, не верна — если дана конечная группа G и делитель d числа |G|, не обязательно существует подгруппа группы G с порядком d — группа G = A₄ не имеет подгруппы порядка 6.

Подгруппы хиральной тетраэдральной симметрии

Подгруппы хиральной тетраэдральной симметрии

Шён- флис	Коксетер [англ.]		Орби- фолд[англ.]	Г-М	Структура	Циклы	Порядок[англ.]	Индекс
T	[3,3]+	=	332	23	A4		12	1
D2	[2,2]+	=	222	222	Dih2		4	3
C3	[3]+		33	3	Z3		3	4
C2	[2]+		22	2	Z2		2	6
C1	[ ]+		11	1	Z1		1	12

Ахиральная тетраэдральная симметрия

Полная тетраэдральная группа T_d с фундаментальной областью

T_d, *332, [3,3] или 43m порядка 24 – ахиральная или полная тетраэдральная симметрия, известная также как группа треугольника (2,3,3). Эта группа имеет те же оси вращений, что и T, но с шестью плоскостями зеркальной симметрии, проходящими через каждую пару 3-кратных осей. 2-кратные оси являются теперь осями S₄ (4). T_d и O изоморфны как абстрактные группы – обе группы соответствуют S₄, симметрической группе 4 элементов. T_d является объединением T и множества, полученного комбинацией каждого элемента O \ T с центральной симметрией. См. также изометрии правильного тетраэдра.

Классами сопряжённости T_d являются:

• тождество
• 8 × вращение на 120°
• 3 × вращение на 180°
• 6 × отражение относительно плоскости, проходящей через две оси вращения
• 6 × зеркальный поворот на 90°

Подгруппы ахиральной тетраэдральной симметрии

Ахиральные тетраэдральные подгруппы

Шён- флис	Коксетер [англ.]		Орби- фолд[англ.]	Г-М	Структура	Циклы	Порядок[англ.]	Индекс
Td	[3,3]		*332	43m	S4		24	1
C3v	[3]		*33	3m	Dih3=S3		6	4
C2v	[2]		*22	mm2	Dih2		4	6
Cs	[ ]		*	2 or m	Dih1		2	12
D2d	[2+,4]		2*2	42m	Dih4		8	3
S4	[2+,4+]		2×	4	Z4		4	6
T	[3,3]+		332	23	A4		12	2
D2	[2,2]+		222	222	Dih2		4	6
C3	[3]+		33	3	Z3 = A3		3	8
C2	[2]+		22	2	Z2		2	12
C1	[ ]+		11	1	Z1		1	24

Пиритоэдральная симметрия

Пиритоэдральная группа T_h с фундаментальной областью

Швы волейбольного мяча имеют пиритоэдральную симметрию

T_h, 3*2, [4,3⁺] или m3 порядка 24 – пиритоэдральная симметрия. Эта группа имеет те же самые оси вращения, что и T с зеркальными плоскостями через два ортогональных направления. 3-кратные оси теперь являются осями S₆ (3), и имеется центральная симметрия. T_h изоморфна T × Z₂ — каждый элемент T_h является либо элементом T, либо элементом, комбинированным с центральной симметрией. Кроме этих двух нормальных подгрупп, имеется ещё одна нормальная подгруппа D_2h (прямоугольного параллелепипеда), типа Dih₂ × Z₂ = Z₂ × Z₂ × Z₂. Она является прямым произведением нормальной подгруппы T (см. выше) с C_i. Факторгруппа та же самая, что и выше — Z₃. Три элемента последней — тождественное преобразование, "вращение по часовой " и "вращение против часовой ", соответствующие перестановкам трёх ортогональных 2-кратных осей с сохранением ориентации.

Это симметрия куба, у которого каждая грань разделена отрезком на два прямоугольника, причём никакие два отрезка не имеют вершин на одном ребре куба. Симметрии соответствуют чётным перестановкам диагоналей куба вместе с центральной инверсией. Симметрия пентагондодекаэдра крайне близка к описанной выше симметрии куба. Пиритоэдр можно получить из куба с разделёнными пополам гранями путём заменены прямоугольников пятиугольниками с одной осью симметрии и 4 равными сторонами, одна сторона отлична по длине (та, которая соответствует отрезку, делящему квадратную грань куба пополам). То есть грани куба выпячиваются по делящему отрезку, а сам отрезок становится меньше. Симметрия куба с разделёнными гранями является подгруппой группы полной икосаэдральной симметрии (как группа изометрии, не просто как абстрактная группа) с 4 из 10 3-кратных осей.

Классы сопряжённости T_h включают классы сопряжённости T с комбинациями двух классов из 4, а также каждый с класс с центральной симметрией:

• тождество
• 8 × вращение на 120°
• 3 × вращение на 180°
• центральная симметрия
• 8 × зеркальный поворот на 60°
• 3 × зеркальное отражение (относительно плоскости)

Подгруппы пиритоэдральной симметрии

Пиритоэдральные подгруппы

Шён- флис	Коксетер [англ.]		Орби- фолд[англ.]	Г-М	Структура	Циклы	Порядок[англ.]	Индекс
Th	[3+,4]		3*2	m3	A4×2		24	1
D2h	[2,2]		*222	mmm	Dih2×Dih1		8	3
C2v	[2]		*22	mm2	Dih2		4	6
Cs	[ ]		*	2 or m	Dih1		2	12
C2h	[2+,2]		2*	2/m	Z2×Dih1		4	6
S2	[2+,2+]		×	1	2 or Z2		2	12
T	[3,3]+		332	23	A4		12	2
D3	[2,3]+		322	3	Dih3		6	4
D2	[2,2]+		222	222	Dih4		4	6
C3	[3]+		33	3	Z3		3	8
C2	[2]+		22	2	Z2		2	12
C1	[ ]+		11	1	Z1		1	24

Тела с хиральной тетраэдральной симметрией

Икосаэдр, раскрашенный как плосконосый тетраэдр, имеет хиральную симметрию.

Тела с полной тетраэдральной симметрией

Класс	Название	Рисунок	Граней	Рёбер	Вершин
Платоново тело	Тетраэдр		4	6	4
Архимедово тело	Усечённый тетраэдр		8	18	12
Каталаново тело	Триакистетраэдр		12	18	8
Почти многогранник Джонсона	Усечённый Триакистетраэдр[англ.]		16	42	28
	Тетраэдный додекаэдр[англ.]		28	54	28
Однородный звёздчатый многогранник	Тетрагемигексаэдр		7	12	6

См. также

• Октаэдральная симметрия^[англ.]
• Икосаэдральная симметрия
• Бинарная группа тетраэдра

Примечания

Литература

• P. Cromwell. Polyhedra. — United Kingdom: Cambridge University Press, 1997. — С. 295. — ISBN 0-521-55432-2.
• John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. The Symmetries of Things. — New-York: A K Peters/CRC Press,, 2008. — ISBN 978-1-56881-220-5.
• H.S.M. Coxeter. Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter / F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss,. — Wiley-Interscience Publication,, 1995. — ISBN 978-0-471-01003-6.
• Norman Johnson. Chapter 11: Finite symmetry groups // Geometries and Transformations. — 2015.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Tetrahedral group (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.