Бином Ньютона

Бино́м Нью́то́на — формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, имеющая вид

${\displaystyle (a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{n-k}b^{k}={\binom {n}{0}}a^{n}+{\binom {n}{1}}a^{n-1}b+\dots +{\binom {n}{k}}a^{n-k}b^{k}+\dots +{\binom {n}{n}}b^{n},}$

где ${\displaystyle {\binom {n}{k}}\equiv C_{n}^{k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}}$ — биномиальные коэффициенты, ${\displaystyle n}$ — неотрицательное целое число.

В таком виде эта формула была известна ещё индийским и персидским математикам; Ньютон вывел формулу бинома для более общего случая, когда показатель степени — произвольное действительное число (позднее она была распространена и на комплексные числа). В общем случае бином представляет собой бесконечный ряд➤.

Примеры:

${\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{2}&=x^{2}+2xy+y^{2},\\(x+y)^{3}&=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3},\\(x+y)^{4}&=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4},\\(x+y)^{5}&=x^{5}+5x^{4}y+10x^{3}y^{2}+10x^{2}y^{3}+5xy^{4}+y^{5}.\end{aligned}}}$

Для быстрого разложения часто пользуются треугольником Паскаля.

Доказательство

Чтобы умножить скобки, нужно взять из каждой по одному слагаемому и все полученные произведения сложить. Для получения степени ${\displaystyle a^{k}b^{n-k}}$ нужно из ${\displaystyle k}$ скобок выбрать ${\displaystyle a}$, а из оставшихся ${\displaystyle n-k}$ выбрать ${\displaystyle b}$. Вариантов выбрать ${\displaystyle a}$ в первый раз столько же, сколько и скобок, то есть ${\displaystyle n}$. Затем, соответственно, ${\displaystyle n-1}$, и так далее до ${\displaystyle n-k+1}$ на ${\displaystyle k}$-м шаге. Однако для каждого варианта посчитаются и все его порядковые перестановки, число которых ${\displaystyle k!}$. Нормируя, получаем в точности ${\displaystyle C_{n}^{k}}$. Ниже приводится доказательство по индукции.

Доказательство

Докажем формулу бинома Ньютона индукцией по ${\displaystyle n}$:

База индукции: ${\displaystyle n=0}$

${\displaystyle (a+b)^{0}=1={\binom {0}{0}}a^{0}b^{0}}$

Шаг индукции: Пусть утверждение для ${\displaystyle n}$ верно:

${\displaystyle (a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^{k}}$

Тогда надо доказать утверждение для ${\displaystyle n+1}$:

${\displaystyle (a+b)^{n+1}=\sum _{k=0}^{n+1}{{n+1} \choose k}a^{n+1-k}b^{k}}$

Начнём доказательство:

${\displaystyle (a+b)^{n+1}=(a+b)(a+b)^{n}=(a+b)\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^{k}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}{a^{n-k+1}b^{k}}\quad +\quad \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^{k+1}}$

Извлечём из первой суммы слагаемое при ${\displaystyle k=0}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}{a^{n-k+1}b^{k}}=a^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}{n \choose k}a^{n-k+1}b^{k}}$

Извлечём из второй суммы слагаемое при ${\displaystyle k=n}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^{k+1}=b^{n+1}+\sum _{k=0}^{n-1}{n \choose k}a^{n-k}b^{k+1}=b^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}{n \choose {k-1}}a^{n-k+1}b^{k}}$

Теперь сложим преобразованные суммы:

${\displaystyle a^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}{n \choose k}a^{n-k+1}b^{k}\quad +\quad b^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}{n \choose {k-1}}a^{n-k+1}b^{k}=a^{n+1}+b^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}\left({n \choose k}+{n \choose {k-1}}\right)a^{n-k+1}b^{k}=}$

${\displaystyle =\sum _{k=0}^{0}{n+1 \choose k}a^{n+1-k}b^{k}\quad +\quad \sum _{k=n+1}^{n+1}{n+1 \choose k}a^{n+1-k}b^{k}\quad +\quad \sum _{k=1}^{n}{n+1 \choose k}a^{n+1-k}b^{k}=\sum _{k=0}^{n+1}{{n+1} \choose k}a^{n+1-k}b^{k}}$

Что и требовалось доказать. ■

Обобщения

Формула бинома Ньютона является частным случаем разложения функции ${\displaystyle (1+x)^{r}}$ в ряд Тейлора:

${\displaystyle (1+x)^{r}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {r}{k}}x^{k},}$

где ${\displaystyle r}$ может быть произвольным комплексным числом (в частности, отрицательным или вещественным). Коэффициенты этого разложения находятся по формуле

${\displaystyle {\binom {r}{k}}={\frac {1}{k!}}\prod _{n=0}^{k-1}(r-n)={\frac {r(r-1)(r-2)\cdots (r-(k-1))}{k!}}.}$

При этом ряд

${\displaystyle (1+z)^{\alpha }=1+\alpha z+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2}}z^{2}+\ldots +{\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}z^{n}+\ldots }$

сходится при ${\displaystyle |z|\leqslant 1}$.

В частности, при ${\displaystyle z={\frac {1}{m}}}$ и ${\displaystyle \alpha =x\cdot m}$ получается тождество

${\displaystyle \left(1+{\frac {1}{m}}\right)^{xm}=1+x+{\frac {xm(xm-1)}{2m^{2}}}+\ldots +{\frac {xm(xm-1)\cdots (xm-n+1)}{n!\,m^{n}}}+\ldots .}$

Переходя к пределу при ${\displaystyle m\to \infty }$ и используя второй замечательный предел ${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\left(1+{\frac {1}{m}}\right)^{m}=e}$, выводим тождество

${\displaystyle e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+\ldots +{\frac {x^{n}}{n!}}+\ldots ,}$

которое именно таким образом было впервые получено Эйлером.

Мультиномиальная теорема

Основная статья: Мультиномиальный коэффициент

Бином Ньютона может быть обобщён до полинома Ньютона — возведения в степень суммы произвольного числа слагаемых:

${\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{m})^{n}=\sum \limits _{k_{j}\geqslant 0 \atop k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{\binom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}}x_{1}^{k_{1}}\ldots x_{m}^{k_{m}},}$

где

${\displaystyle {\binom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}}={\frac {n!}{k_{1}!\,k_{2}!\ldots k_{m}!}}}$

суть Мультиномиальные коэффициенты. Сумма берётся по всем неотрицательным целым индексам ${\displaystyle k_{j}}$, сумма которых равна ${\displaystyle n}$ (то есть по всем композициям числа ${\displaystyle n}$ длины ${\displaystyle m}$). При использовании полинома Ньютона считается, что выражения ${\displaystyle x_{j}^{0}=1}$, даже если ${\displaystyle x_{j}=0}$.

Мультиномиальная теорема легко доказывается либо индукцией по ${\displaystyle m}$, либо из комбинаторных соображений и комбинаторного смысла полиномиального коэффициента.

При ${\displaystyle m=2}$, выражая ${\displaystyle k_{2}=n-k_{1}}$, получаем бином Ньютона.

Полные полиномы Белла

Пусть ${\displaystyle B_{n}(a_{s})=B_{n}(a_{1},\dots ,a_{n})}$ и ${\displaystyle B_{0}=1}$, тогда полные полиномы Белла обладают биномиальным разложением:

${\displaystyle B_{n}(a_{s}+b_{s})=\sum _{i+j=n}{\binom {n}{i,j}}B_{i}(a_{s})B_{j}(b_{s}).}$

История

В Европе долгое время считалось, что для натуральных показателей степени эту формулу, как и треугольник, позволяющий находить коэффициенты, изобрёл Блез Паскаль, описавший её в своём «Трактате об арифметическом треугольнике», изданном в 1665 году. Однако историки науки обнаружили, что формула была известна ещё китайскому математику Яну Хуэю (1238—1298), а также персидским математикам ат-Туси (1201—1274) и аль-Каши (1380—1429). В Европе немецкий математик Михаэль Штифель (1487—1567) описал биномиальные коэффициенты и также составил их таблицу до степени 18 на столетие раньше Паскаля.

Первая известная формулировка биномиальной теоремы и таблицы биномиальных коэффициентов появилась в работе аль-Караджи (953—1029)^[1].

Исаак Ньютон около 1665 года обобщил формулу для произвольного показателя степени (дробного, отрицательного и др.). На основе биномиального разложения Ньютон, а позднее Эйлер, выводили всю теорию бесконечных рядов.

В художественной литературе

В художественной литературе «бином Ньютона» часто фигурирует как синоним чего-то очень сложного (нередко иронически)^[2]. Например, в романе «Мастер и Маргарита» М. А. Булгакова: «подумаешь, бином Ньютона! Умрёт он через девять месяцев, в феврале будущего года, от рака печени в клинике Первого МГУ, в четвёртой палате».

В повести «Последнее дело Холмса» Шерлок Холмс рассказывает о профессоре Мориарти, в частности, следующее: «…когда ему исполнился 21 год, он написал трактат о биноме Ньютона, завоевавший ему европейскую известность…»

См. также

• Биномиальное распределение
• Биномиальный коэффициент
• Треугольник Паскаля
• Формулы сокращённого умножения многочленов — наиболее частые частные случаи бинома Ньютона

Примечания

1. Mohammad Yadegari. The binomial theorem: A widespread concept in medieval Islamic mathematics // Historia Mathematica. — 1980-11. — Т. 7, вып. 4. — С. 401–406. — ISSN 0315-0860. — doi:10.1016/0315-0860(80)90004-x.
2. Успенский В. А. Предварение для читателей «Нового литературного обозрения» к семиотическим посланиям Андрея Николаевича Колмогорова // Новое литературное обозрение. — 1997. — № 24. Архивировано 14 июня 2011 года.

Литература

• Бином Ньютона // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.

Ссылки

• Ньютона бином // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.