Loading AI tools
представление матрицы в виде произведения унитарной (или ортогональной матрицы) и верхнетреугольной матрицы Из Википедии, свободной энциклопедии
-разложение матрицы — представление матрицы в виде произведения унитарной (или ортогональной матрицы) и верхнетреугольной матрицы. QR-разложение является основой одного из методов поиска собственных векторов и чисел матрицы — QR-алгоритма[1].
Матрица размера , где , с комплексными элементами может быть представлена в виде
где — матрица размера с ортонормированными столбцами, а — верхнетреугольная матрица размера . При матрица унитарная. Если при этом невырождена, то -разложение единственно и матрица может быть выбрана так, чтобы её диагональные элементы были положительными вещественными числами. В частном случае, когда матрица состоит из вещественных чисел, матрицы и также могут быть выбраны вещественными, причём является ортогональной[2].
По аналогии, если — матрица размера , где , то она может быть разложена как
где матрица порядка — нижнетреугольная, а матрица размера имеет ортонормированные строки[1].
-разложение может быть получено различными методами. Проще всего оно может быть вычислено, как побочный продукт в процессе Грама — Шмидта[2]. На практике следует использовать модифицированный алгоритм Грама ― Шмидта, поскольку классический алгоритм обладает плохой численной устойчивостью[3].
Альтернативные алгоритмы для вычисления -разложения основаны на отражениях Хаусхолдера и вращениях Гивенса[4].
Рассмотрим матрицу:
Через обозначим векторы-столбцы заданной матрицы Получаем следующий набор векторов:
Далее, применяем алгоритм ортогонализации Грама — Шмидта и нормируем полученные вектора, получаем следующий набор:
Из полученных векторов составляем по столбцам матрицу Q из разложения:
Полученная матрица является ортогональной, это означает, что
Найдем матрицу из выражения :
— искомая верхнетреугольная матрица.
Получили разложение .
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.