Loading AI tools
утверждение в теории чисел Из Википедии, свободной энциклопедии
abc-гипотеза (гипотеза Эстерле — Массера) — утверждение в теории чисел, сформулированное независимо друг от друга математиками Дэвидом Массером в 1985 году[1] и Джозефом Эстерле в 1988 году[2].
Доказательство abc-гипотезы долгое время было одной из главных нерешённых проблем теории чисел, и остается таковой до сих пор. Статус этой проблемы в настоящее время спорный. Подтвердить или опровергнуть доказательство Мотидзуки, полученное в 2012 году, пока не удалось.
Для любого существует постоянная , при которой для любых трёх взаимно простых целых чисел , и , таких, что , выполняется неравенство
где — радикал числа , то есть число, равное произведению простых делителей произведения .
Из справедливости abc-гипотезы следует справедливость гипотезы Била для достаточно больших , а из неё — справедливость великой теоремы Ферма для достаточно больших степеней[3].
Согласно гипотезе Била, если (, , , , , — натуральные и ), то , , имеют общий делитель.
Докажем гипотезу Била для достаточно больших от противного. Предположим, существует бесконечное количество , для которых гипотеза Била неверна. Применим abc-гипотезу, согласно которой:
Учтём, что . Поэтому:
Поскольку из условий теоремы очевидно, что и , то . Тогда:
Прологарифмировав обе части неравенства и разделив на , получим ограничение сверху на величину :
причём, отношение должно быть конечным, поскольку, по условию , , — натуральные (то есть )
Таким образом, можно найти некоторое конечное значение , для которого неравенство (*) не выполняется, то есть abc-гипотеза здесь несправедлива, а значит сделанное предположение о неверности гипотезы Била для достаточно больших ошибочно. Для оставшегося конечного количества справедливость гипотезы Била можно доказать численно.
Из справедливости abc-гипотезы следует справедливость гипотезы Пиллаи, а из неё — справедливость гипотезы Каталана.
В 2007 году французский математик Люсьен Шпиро[англ.], работами которого была вдохновлена сама abc-гипотеза, заявил, что ему удалось найти доказательство, однако вскоре было обнаружено, что оно ошибочно[4].
В августе 2012 года авторитетный японский математик Синъити Мотидзуки заявил, что ему удалось доказать abc-гипотезу[5][6]. Предложенное им доказательство оказалось исключительно сложным даже с точки зрения математиков-специалистов[7].
Опубликовав доказательство в интернете, Мотидзуки отказался от всех предложений лично рассказать сообществу о своих результатах, но несколько математиков взялись за самостоятельную проверку доказательства при содействии Мотидзуки. Они публикуют отчёты о ходе этой работы[8]. Начиная с конца 2015 года, Мотидзуки стал понемногу общаться с сообществом о своих результатах[9]. На конец 2017 года в мире насчитывается от 10 до 20 специалистов по теории, созданной Мотидзуки[10]. Таким образом, доказательство Синъити Мотидзуки общедоступно, не опровергнуто, но пока и не считается проверенным в научном сообществе. Длительное пребывание доказательства в этом неопределённом статусе необычно для математических доказательств[10][11], в отличие от случаев, когда в доказательствах, которые считались проверенными и верными, обнаруживались ошибки.
В 2018 году Петер Шольце и Якоб Стикс — специалисты в областях, связанных с abc-гипотезой и работами Мотидзуки, — объявили, что в ключевом для доказательства abc-гипотезы месте теории Мотидзуки (которое давно вызывало особые трудности у математиков, пытавшихся разобраться в теории) имеется непоправимая ошибка[12][7]. Мотидзуки ответил, что Стикс и Шольце неправильно интерпретировали некоторые ключевые аспекты его доказательства и поэтому сделали недопустимые упрощения[13].
На 2020 год доказательство Мотидзуки всё ещё пребывает в неопределённом статусе, математическое сообщество не убеждено в его верности, несмотря на принятие доказательства к публикации в журнале Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences (PRIMS) научно-исследовательского института математических наук при Киотском университете (Япония) — института, в котором работает Мотидзуки[14][15]. В марте 2021 года доказательство Мотидзуки было опубликовано в PRIMS[16].
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.