Гипотеза Била

Гипотеза Била — гипотеза в теории чисел, обобщение великой теоремы Ферма: если ${\displaystyle A^{x}+B^{y}=C^{z}}$, где ${\displaystyle A,B,C,x,y,z\in \mathbb {N} }$ и ${\displaystyle x,y,z>2}$, то ${\displaystyle A,B,C}$ имеют общий простой делитель.

Предложена в 1993 году техасским миллиардером и математиком-любителем Эндрю Билом (англ. Andrew Beal), который учредил премию за её доказательство или опровержение в 100 тыс. долларов, а в 2013 году увеличил эту премию до 1 млн долларов^[1].

Из abc-гипотезы (чей статус спорен) следует справедливость гипотезы Била для достаточно больших ${\displaystyle z}$^[2], а из неё — доказательство Великой теоремы Ферма, поскольку гипотеза Била является обобщением великой теоремы Ферма (доказанной в 1995 году Эндрю Уайлсом).

По состоянию на 2013 год гипотеза проверена для случаев, когда значения всех шести чисел не превосходят 1000^[3]. 24 марта 2014 года запущен проект добровольных вычислений Beal@Home на платформе BOINC по поиску контрпримера путём полного перебора.

Связь с великой теоремой Ферма

При условии справедливости гипотезы теорему Ферма можно доказать от противного:

Пусть существуют натуральные числа ${\displaystyle n>2}$ и ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$ такие, что ${\displaystyle A^{n}+B^{n}=C^{n}}$. Тогда гипотеза Била для ${\displaystyle x=y=z=n}$ влечёт существование простого числа ${\displaystyle p}$, делящего каждое из чисел ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$. Но тогда ${\displaystyle (A/p)^{n}+(B/p)^{n}=(C/p)^{n}}$, а следовательно, из любой тройки чисел, удовлетворяющей равенству ${\displaystyle A^{n}+B^{n}=C^{n}}$, можно получить другую тройку чисел, удовлетворяющую данному равенству, последнее число в которой будет меньше, чем в исходной тройке. Иными словами, в множестве натуральных чисел, чья ${\displaystyle n}$-я степень является суммой ${\displaystyle n}$-х степеней двух других натуральных чисел, нет наименьшего элемента, что невозможно. Полученное противоречие означает, что требуемых натуральных чисел ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$ не существует, то есть великая теорема Ферма доказана.

Примечания

1. "Банкир из Техаса увеличил до $1 млн приз за доказательство его теоремы". РИА Новости. 2013-06-05. Архивировано 10 июня 2013. Дата обращения: 6 июня 2013.
2. R. Daniel Mauldin. A Generalization of Fermat’s Last Theorem: The Beal Conjecture and Prize Problem (англ.) // Notices of the AMS. — 1985. — Vol. 44, no. 11. — P. 1436—1437. Архивировано 28 июля 2012 года.
3. Beal’s Conjecture: A Search for Counterexamples Архивная копия от 19 марта 2009 на Wayback Machine (англ.)

Ссылки

• The Beal Conjecture Архивная копия от 15 марта 2009 на Wayback Machine
• The Beal Conjecture and Prize Архивная копия от 20 февраля 2009 на Wayback Machine
• R. Daniel Mauldin. A Generalization of Fermat’s Last Theorem: The Beal Conjecture and Prize Problem (англ.) // Notices of the AMS : journal. — 1997. — Vol. 44, no. 11. — P. 1436—1439.
• Beal's Conjecture (англ.) на сайте PlanetMath. (недоступная ссылка с 06-06-2013 [4171 день])
• Beal@Home Архивная копия от 13 апреля 2014 на Wayback Machine — сайт проекта добровольных вычислений по проверке гипотезы.