AK-модель

AK-моде́ль (модель Ребело, англ. AK model) — эндогенная модель экономического ростa, в которой устойчивый экономический рост достигается за счет неубывающей предельной производительности капитала, понимаемого в модели как совокупность физического и человеческого капитала, в производстве инвестиционных товаров. AK-модель преодолела недостаток экзогенности темпов научно-технического прогресса, присущий неоклассическим моделям, и показала возможность негативного воздействия фискальной политики на долгосрочные темпы экономического роста. Однако сильная чувствительность темпов экономического роста к изменениям налоговой ставки, предполагаемая по модели, не подтверждается эмпирически. Также в модели не раскрывается целенаправленная деятельность экономических агентов по инвестированию в новые технологии с целью извлечения прибыли. Разработана в 1990 году Серджио Ребело^[англ.].

История создания

В ранних неоклассических моделях экономического роста (модели Солоу и Рамсея — Касса — Купманса) темпы научно-технический прогресса, являющего источником экономического роста, задавались экзогенно, а капитал как фактор производства характеризовался убывающей отдачей от масштаба. Чтобы объяснить темпы экономического роста, исследователи стали использовать более широкую трактовку понятия «капитал», включая в него и человеческий капитал. Эта концепция была впервые предложена Фрэнком Найтом в 1944 году^[1]. На основании такой широкой трактовки капитала традиционно используемую в макроэкономических моделях функцию Кобба — Дугласа сменила производственная функция вида ${\displaystyle Y=AK}$, которая впервые была предложена в 1937 году Джоном фон Нейманом (на английский язык работа была переведена в 1945 году)^[2][3]. Простейший вариант AK-модели (с экзогенной ставкой сбережения) был предложен Робертом Солоу в 1970 году, однако сам Солоу посчитал её неинтересной^[4][5]. Для объяснения нормы сбережений как следствия решений экономических агентов, как и в модели Рамсея — Касса — Купманса, используется межвременная функция полезности из работы Фрэнка Рамсея 1928 года^[6]. После Роберта Солоу многие исследователи предлагали свои версии АК-модели, иногда под этим названием подразумеваются некоторые схожие модели (см. ниже), но в качестве модели, объединяющей человеческий и физический капитал в производственную функцию вида ${\displaystyle Y=AK}$, с помощью которой объясняются темпы экономического роста, в обзорных источниках используется модель, предложенная Серджио Ребело^{[англ.][7][8][5]} в работе «Анализ зависимости долгосрочной фискальной политики и темпов экономического роста», опубликованной в апреле 1990 года^[9] и изданной в июне 1991 года в журнале Journal of Political Economy^{[англ.][10]}.

Описание оригинальной модели

Базовые предпосылки модели

В модели рассматривается закрытая экономика. Фирмы максимизируют свою прибыль, а потребители — полезность. Экономика функционирует в условиях совершенной конкуренции. Производится два разных типа продуктов: один используется, для потребления ${\displaystyle C}$, другой - для инвестиций ${\displaystyle I}$. Норма выбытия капитала ${\displaystyle \delta }$ задается экзогенно. В качестве работника и потребителя в модели выступает бесконечно живущий индивид (или домохозяйство). Предполагается, что между разными поколениями существуют альтруистические связи, при принятии решений домохозяйство учитывает ресурсы и потребности не только настоящих, но и будущих своих членов, что делает его решения аналогичным решениям бесконечно живущего индивида. Время ${\displaystyle t}$ изменяется непрерывно^[9].

Предпосылка о закрытой экономике означает, что произведенный продукт тратится на инвестиции и потребление, экспорт/импорт отсутствуют, сбережения равны инвестициям: ${\displaystyle S=I}$^[9].

Капитал ${\displaystyle K}$, трактуемый в модели как совокупность физического и человеческого капитала, распределяется между двумя секторами, производящими инвестиционные и потребительские товары^[9][11]:

${\displaystyle K_{Ct}+K_{It}=K_{t}}$,

где ${\displaystyle K_{t}}$ — совокупный запас капитала в момент времени ${\displaystyle t}$, ${\displaystyle K_{Ct}}$ — капитал, используемый в производстве потребительских товаров в момент времени ${\displaystyle t}$, ${\displaystyle K_{It}}$ — капитал, используемый в производстве инвестиционных товаров в момент времени ${\displaystyle t}$.

Если обозначить долю капитала, задействованного в производстве потребительских товаров в момент времени ${\displaystyle t}$ как ${\displaystyle \phi _{t}}$, ${\displaystyle 0<\phi _{t}<1}$, то ${\displaystyle K_{Ct}=\phi _{t}K_{t}}$ и ${\displaystyle K_{It}=(1-\phi _{t})K_{t}}$.

Производственная функция в секторе потребительских товаров описывается функцией Кобба — Дугласа^[9][12]:

${\displaystyle C_{t}=BK_{Ct}^{\alpha }L_{t}^{1-\alpha }}$,

где ${\displaystyle C_{t}=c_{t}L_{t}}$ — совокупное потребление в момент времени ${\displaystyle t}$, ${\displaystyle c_{t}}$ — потребление отдельного индивида в момент времени ${\displaystyle t}$, ${\displaystyle L_{t}}$ — трудовые ресурсы в момент времени ${\displaystyle t}$, ${\displaystyle B}$ — технологический параметр, ${\displaystyle B=const}$.

Производственная функция в секторе инвестиционных товаров не включает в себя труд как фактор производства, зависит только от капитала и описывается функцией^[9][11]:

${\displaystyle I_{t}=AK_{It}}$,

где ${\displaystyle A}$ — технологический параметр, ${\displaystyle A=const}$.

Население ${\displaystyle L_{t}}$, равное в модели совокупным трудовым ресурсам, растет с постоянным темпом ${\displaystyle n}$: ${\displaystyle L_{t}=L_{0}e^{nt},n=const}$.

Индивид предлагает одну единицу труда (предложение труда неэластично) и получает заработную плату (в единицах потребительского товара). Функция полезности бесконечно живущего индивида-потребителя ${\displaystyle u(c_{t})}$ является сепарабельной, то есть потребление прошлых и будущих периодов не влияют на текущую полезность, влияет только потребление текущего периода. Она удовлетворяет условиям ${\displaystyle u'(c)>0,u''(c)<0}$ и условиям Инады (при потреблении, стремящемся к нулю, предельная полезность стремится к бесконечности, при потреблении, стремящемся к бесконечности, предельная полезность стремится к нулю): ${\displaystyle \lim _{c\to 0}u'(c)=+\infty$ ;\lim _{c\to \infty }u'(c)=0} , а также обладает постоянной эластичностью замещения ${\displaystyle {\frac {u''(c)}{u'(c)}}c=-\theta }$, и имеет вид^[9]:

${\displaystyle U(c)=\int _{0}^{\infty }{\frac {c^{1-\theta }-1}{1-\theta }}e^{-(\rho -n)t}dt}$,

где ${\displaystyle \rho }$ — коэффициент межвременного предпочтения потребителя, ${\displaystyle \rho >0,\rho =const}$.

Доходы индивида состоят из заработной платы ${\displaystyle w}$ и поступлений от активов ${\displaystyle ra_{t}}$. Активы индивида ${\displaystyle a_{t}}$ могут быть как положительными, так и отрицательными (долг). Процентная ставка ${\displaystyle r_{t}}$ по вложениям и по долгу в модели принята одинаковой. В связи с этим в модели присутствует условие отсутствия схемы Понци (финансовой пирамиды): нельзя бесконечно выплачивать старые долги за счет новых^[13][14]:

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }a_{t}e^{-\int \limits _{0}^{t}(r(\nu )-n)d\nu }\geq 0}$,

где ${\displaystyle a_{t}={\frac {K_{t}}{L_{t}}}=k_{t}}$ — в закрытой экономике весь капитал принадлежит резидентам, а величина активов индивида ${\displaystyle a}$ совпадает с запасом капитала на одного работающего.

Накопление капитала в момент времени ${\displaystyle t}$ равно разности произведенных инвестиционных товаров и выбытия капитала^[9][11]:

${\displaystyle {\dot {K}}=I_{t}-\delta K_{t}=AK_{It}-\delta K_{t}}$,

где ${\displaystyle \delta }$ — норма выбытия капитала, ${\displaystyle {\dot {K}}}$ — производная капитала по времени.

Для поиска решения модели используются удельные показатели^[9]: выпуск на единицу труда ${\displaystyle y={\frac {Y}{L}}}$, запас капитала на единицу труда ${\displaystyle k={\frac {K}{L}}}$, потребление на единицу труда ${\displaystyle c={\frac {C}{L}}}$, инвестиции на единицу труда ${\displaystyle i={\frac {I}{L}}}$.

В интенсивной форме производственные функции имеют вид: ${\displaystyle i_{t}=Ak_{t}}$ (сектор инвестиционных товаров) и ${\displaystyle c_{t}=Bk_{t}^{\alpha }}$ (сектор потребительских товаров).

Задача фирмы

Задача фирм, работающие в двух секторах, состоит в максимизации прибыли (${\displaystyle \pi _{c}}$ и ${\displaystyle \pi _{i}}$ в потребительском и инвестиционном секторе соответственно)^[9][15]:

${\displaystyle \pi _{i}=p_{it}AK_{It}-(r_{it}+\delta p_{it})K_{It}\rightarrow \max }$

${\displaystyle \pi _{c}=p_{ct}BK_{Ct}^{\alpha }L_{t}^{1-\alpha }-r_{ct}K_{Ct}-w_{t}L_{t}\rightarrow \max }$

В условиях совершенной конкуренции это означает, что предельная производительность капитала в производстве инвестиционных и потребительских товаров должна быть одинакова (${\displaystyle {\frac {\partial I_{t}}{\partial K_{I}}}={\frac {\partial C_{t}}{\partial K_{C}}}}$), при условии статичности цен^[9][15]:

${\displaystyle {\frac {\partial I_{t}}{\partial K_{I}}}=r_{it}+\delta p_{it}=p_{it}A}$,

${\displaystyle {\frac {\partial C_{t}}{\partial K_{C}}}=r_{ct}=p_{ct}\alpha BK_{Ct}^{\alpha -1}L_{t}^{1-\alpha }=p_{ct}\alpha B(\phi _{t}k_{t})^{\alpha -1}}$,

где ${\displaystyle p_{it}}$ — цена инвестиционного товара в момент времени ${\displaystyle t}$, ${\displaystyle p_{ct}}$ — цена потребительского товара в момент времени ${\displaystyle t}$. Из условия, что ${\displaystyle {\frac {\partial I_{t}}{\partial K_{I}}}={\frac {\partial C_{t}}{\partial K_{C}}}}$, следует^[9][15]:

${\displaystyle p_{it}A=p_{ct}\alpha B(\phi _{t}k_{t})^{\alpha -1}}$.

Задача потребителя

Доходы индивида расходуются либо на потребление, либо на увеличение активов (сбережений). Население растет темпом ${\displaystyle n}$, поэтому активы на одного человека сокращаются с этим же темпом, то есть скорость изменения активов в каждый момент времени уменьшаются на ${\displaystyle na_{t}}$. Таким образом, учитывая, что в этой версии модели ${\displaystyle w_{t}=0}$ производная активов по времени ${\displaystyle {\dot {a}}}$, выступающая в качестве бюджетного ограничения индивида, имеет вид^[13]:

${\displaystyle {\dot {a}}=r_{ct}a_{t}+w_{t}-c-na_{t}}$.

Как и в модели Рамсея — Касса — Купманса, задача потребителя заключается в максимизации полезности ${\displaystyle U}$ при бюджетном ограничении и при ограничении на отсутствие схемы Понци. Поскольку бюджетное ограничение представлено как производная по времени, то задача потребителя представлена в виде задачи динамической оптимизации. Её решение можно найти путём построения функция Гамильтона и нахождения её максимума с помощью принципа максимума Понтрягина^[16].

Нахождение максимума функции Гамильтона

Функция Гамильтона выглядит следующим образом:

${\displaystyle H={\frac {c^{1-\theta }-1}{1-\theta }}e^{-(\rho -n)t}dt+\lambda _{t}(r_{t}a_{t}-c-na_{t})}$

при условии:

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }a_{t}e^{-\int \limits _{0}^{t}(r(\nu )-n)d\nu }\geq 0}$.

Условие максимума первого порядка: ${\displaystyle {\frac {\partial H}{\partial c}}=c^{-\theta }e^{-(\rho -n)t}-\lambda _{t}=0}$.

Фазовая координата (сопряжённое уравнение): ${\displaystyle {\frac {\partial H}{\partial a}}=(r_{t}-n)\lambda _{t}=-{\dot {\lambda }}}$, где ${\displaystyle {\dot {\lambda }}}$ — производная ${\displaystyle \lambda }$ по времени.

Условие трансверсальности (при невыполнении которого найденное решение может оказаться не максимумом, а седловой точкой): ${\displaystyle \lim _{t\to \infty }\lambda _{t}a_{t}=0}$, где ${\displaystyle \lambda _{t}}$ представляют собой теневые цены^[англ.] активов^[17] (теневые цены учитывают внешние эффекты в стоимости товаров, если фирмы и потребители принимают решения в соответствии со структурой цен, пропорциональной теневой, то в экономике достигается оптимальное по Парето состояние). В данном случае условие трансверсальности совпадает с ограничением на отсутствие схемы Понци^[18][19].

Искомое решение имеет вид правила Кейнса — Рамсея^[13][9]:

${\displaystyle g_{c}={\frac {\dot {c}}{c}}={\frac {1}{\theta }}(r_{ct}-\rho )}$,

где ${\displaystyle {\dot {c}}}$ — производная потребления на душу населения по времени, ${\displaystyle g_{c}}$ — темп роста потребления на единицу населения.

Общее равновесие в модели

С учетом изменения цен потребительского и инвестиционного товаров, в равновесном состоянии доходности на капитал в производстве инвестиционных (${\displaystyle r_{it}}$) и потребительских (${\displaystyle r_{ct}}$) товаров должны удовлетворять условию^[15][9]:

${\displaystyle {\frac {r_{ct}}{p_{ct}}}+{\frac {\dot {p_{ct}}}{p_{ct}}}={\frac {r_{it}}{p_{it}}}+{\frac {\dot {p_{it}}}{p_{it}}}}$,

где ${\displaystyle {\dot {p_{it}}}}$ — производная цены инвестиционного товара по времени, ${\displaystyle {\dot {p_{ct}}}}$ — производная цены потребительского товара по времени.

На траектории стабильного роста ${\displaystyle \phi _{t}=const=\phi ^{*}}$. Если выбрать потребительский товар в качестве меры стоимости, ${\displaystyle p_{ct}=const=1}$, то ${\displaystyle {\dot {p_{ct}}}=0}$. Динамика цены инвестиционного товара определяется из равенства доходностей на капитал в секторах потребительских и инвестиционных товаров^[20]:

${\displaystyle {\frac {\dot {p_{it}}}{p_{it}}}=(\alpha -1){\frac {\dot {k}}{k}}}$.

С учетом уравнения доходности капитала в производственном секторе, итоговое уравнение для ${\displaystyle r_{ct}}$ примет вид^[20]:

${\displaystyle r_{ct}=A-\delta -(1-\alpha ){\frac {\dot {k}}{k}}}$.

Если подставить значение ${\displaystyle r_{ct}}$ в уравнение динамики потребления, то оно примет вид^[20]:

${\displaystyle g_{c}={\frac {1}{\theta }}(A-\delta -(1-\alpha ){\frac {\dot {k}}{k}}-\rho )}$.

Производная производственной функции в секторе потребительских товаров по времени выглядит следующим образом^[20]:

${\displaystyle {\frac {\dot {c}}{c}}=g_{c}=\alpha {\frac {\dot {k}}{k}}}$.

Решением системы из этих двух уравнений и будут равновесные темпы роста капиталовооружённости ${\displaystyle k}$ (${\displaystyle g_{k}^{*}}$), выпуска на единицу труда ${\displaystyle y}$ (${\displaystyle g_{y}^{*}}$), заработной платы ${\displaystyle w}$ (${\displaystyle g_{w}^{*}}$) и потребления на единицу труда ${\displaystyle c}$ (${\displaystyle g_{c}^{*}}$)^[21][9]:

${\displaystyle g_{k}^{*}={\frac {\dot {k}}{k}}={\frac {A-\delta -\rho }{1-\alpha (1-\theta )}}}$,

${\displaystyle g_{c}^{*}=g_{y}^{*}=\alpha {\frac {A-\delta -\rho }{1-\alpha (1-\theta )}}}$,

${\displaystyle g_{w}^{*}={\frac {\dot {w}}{w}}={\frac {\dot {p_{ct}}}{p_{ct}}}+\alpha {\frac {\dot {k}}{k}}=g_{c}^{*}=\alpha {\frac {A-\delta -\rho }{1-\alpha (1-\theta )}}}$

Таким образом, в модели темпы роста выпуска и потребления являются постоянными, и не падают с ростом запаса капитала. Поскольку в модели отсутствуют внешние эффекты, найденное конкурентное равновесие является оптимальным по Парето, и не существует централизованного равновесия с более высокими темпами роста, в отличие от моделей обучения в процессе деятельности и Удзавы — Лукаса^[22].

Фискальная политика в модели

Совокупные налоговые поступления можно записать следующим образом^[9]:

${\displaystyle T_{t}=\tau _{c}C_{t}+\tau _{i}p_{it}I_{t}}$,

где ${\displaystyle T_{t}}$ — совокупные налоговые поступления в момент времени ${\displaystyle t}$, ${\displaystyle \tau _{c}}$ — суммарная ставка налогов на потребление (например, НДФЛ, НДС), ${\displaystyle \tau _{i}}$ — суммарная ставка налогов на инвестиции (например, налог на прибыль).

Налоги на потребление не влияют на темпы роста капиталовооружённости ${\displaystyle k}$ и выпуска ${\displaystyle y}$, они лишь приводят к уменьшению текущего уровня потребления. Но налоги на инвестиции оказывают влияние на темпы роста В этом случае оптимальные темпы роста капиталовооружённости ${\displaystyle g_{k}^{*}}$ и выпуска ${\displaystyle g_{y}^{*}}$ изменится следующим образом^[9]:

${\displaystyle g_{k}^{*}(\tau _{i})={\frac {{\frac {A}{1+\tau _{i}}}-\delta -\rho }{1-\alpha (1-\theta )}}}$,

${\displaystyle g_{c}^{*}(\tau _{i})=g_{y}^{*}(\tau _{i})=\alpha {\frac {{\frac {A}{1+\tau _{i}}}-\delta -\rho }{1-\alpha (1-\theta )}}}$.

Таким образом, в отличие от модели Рамсея — Касса — Купманса, в которой рост налогов вызывал только снижение текущего потребления, но не влиял на темпы экономического роста, в рассматриваемой модели даже небольшие изменения в налоговой политике могут привести к снижению не только текущего уровня потребления, но и темпов экономического роста (при определенных значениях параметров, они даже могут стать отрицательными)^[23].

Упрощенная версия модели

Отличия от оригинальной модели

Во многих работах встречается упрощенная версия модели, в которой рассматривается односекторная экономика вместо двухсекторной в оригинальной модели: производится только один товар ${\displaystyle Y}$, используемый как для потребления, так и для инвестиций^[7][8][24]. В этом случае в качестве совокупной производственной функции выступает производственная функция сектора инвестиционных товаров из оригинальной модели^[25][26]:

${\displaystyle Y_{t}=AK_{t}}$

Поскольку производится только один товар, то больше нет необходимости в разных ценах ${\displaystyle p_{it}}$ и ${\displaystyle p_{ct}}$, и в этой версии, как и в модели модели Рамсея — Касса — Купманса, работники снова получают заработную плату в натуральной величине^[25][26].

Задача фирмы

Задача фирмы состоит в максимизации прибыли ${\displaystyle \pi }$^[27]:

${\displaystyle \pi =AK_{t}-(r+\delta )K_{t}-w_{t}L_{t}\rightarrow \max }$

Поскольку фирмы функционируют в условиях совершенной конкуренции, то предельные производительности факторов производства равны их ценам^[27][14]:

${\displaystyle {\frac {\partial Y_{t}}{\partial K}}=r_{t}=A-\delta }$,

${\displaystyle {\frac {\partial Y_{t}}{\partial L}}=w_{t}=0}$.

Задача потребителя

Задача потребителя полностью аналогична задаче в оригинальной модели. Её решение имеет также вид правила Кейнса — Рамсея^[14][13]:

${\displaystyle g_{c}={\frac {\dot {c}}{c}}={\frac {1}{\theta }}(r_{t}-\rho )}$,

Общее экономическое равновесие

В равновесном состоянии темпы роста потребления ${\displaystyle g_{c}^{*}}$, капитала ${\displaystyle g_{k}^{*}}$ и выпуска ${\displaystyle g_{y}^{*}}$ равны^[16][28]:

${\displaystyle g_{c}^{*}=g_{k}^{*}=g_{y}^{*}={\frac {1}{\theta }}(A-\delta -\rho )}$.

Учитывая, что ${\displaystyle a=k}$, после решения задач фирмы и потребителя, можно записать следующую систему дифференциальных уравнений^[16][14]:

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {k}}=(A-\delta -n)k_{t}-c_{t},\\{\frac {\dot {c}}{c}}={\frac {1}{\theta }}(A-\delta -\rho ).\end{cases}}}$

при условии:

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }k_{t}e^{-(A-\delta -n)t}=0}$.

Из решения этой системы уравнений находится равновесная норма сбережения ${\displaystyle s^{*}}$^[29][30]:

${\displaystyle s^{*}={\frac {{\frac {\dot {k}}{k}}+n+\delta }{A}}={\frac {\delta +n}{A}}+{\frac {1}{\theta }}{\biggl (}1-{\frac {\delta +\rho }{A}}{\biggr )}}$.

В итоге, и в упрощенной модели темпы роста выпуска и потребления также являются постоянными, и не падают с ростом запаса капитала. Поскольку в модели отсутствуют внешние эффекты, найденное конкурентное равновесие также является оптимальным по Парето, и не существует централизованного равновесия с более высокими темпами роста^[22].

Фискальная политика в модели

Поскольку в упрощенной версии модели индивиды получают доход только от владения капиталом (${\displaystyle w_{t}=0}$), то и налоги могут быть в ней введены только на этот источник дохода. С учетом налогов, динамика активов потребителя примет вид^[22]:

${\displaystyle {\dot {a}}=(1-\tau )r_{t}a_{t}-c-na_{t}}$,

где ${\displaystyle \tau }$ — ставка налога.

В этом случае равновесные темпы роста потребления ${\displaystyle g_{c}^{*}}$, капитала ${\displaystyle g_{k}^{*}}$ и выпуска ${\displaystyle g_{y}^{*}}$ в зависимости от ставки налога ${\displaystyle \tau }$ будут равны^[22][31]:

${\displaystyle g_{c}^{*}(\tau )=g_{k}^{*}(\tau )=g_{y}^{*}(\tau )={\frac {1}{\theta }}((1-\tau )(A-\delta )-\rho )}$.

Норма сбережений ${\displaystyle s^{*}}$ также меняется в зависимости от${\displaystyle \tau }$^[22][31]:

${\displaystyle s^{*}(\tau )={\frac {\delta +n}{A}}+{\frac {1}{\theta }}{\biggl (}{\frac {(1-\tau )(A-\delta )-\rho }{A}}{\biggr )}}$.

Как и в оригинальной модели, в упрощенной версии небольшие изменения в налоговой политике тоже могут привести к снижению не только текущего уровня потребления, но и темпов экономического роста (при определенных значениях параметров, они даже могут стать отрицательными). В целом, при более простых вычисления, упрощенная версия модели приходит к тем же общим выводам, что и оригинальная модель, за исключением вывода относительно уровня заработной платы ${\displaystyle w_{t}}$ и темпов его роста ${\displaystyle g_{w}^{*}}$. Но это важное различие, оно предполагает, что доля капитала в национальном доходе должна асимптотически стремиться к 100%^[23].

Другие модели с расширенной трактовкой капитала

В модели Серджио Ребело^[англ.] человеческий и физический капитал объединены в одну переменную. Существуют также ряд других моделей, которые приходят к аналогичным выводам, но исходя из иных предпосылок. Вместе с рассматриваемой моделью из называют моделями экономического роста с расширенной трактовкой капитала или моделями эндогенного роста первого поколения^[32].

Модель обучения в процессе деятельности

Основная статья: Модель обучения в процессе деятельности

В модели обучения в процессе деятельности производственная функция каждой отдельной фирмы удовлетворяет неоклассическим предпосылкам, однако общий запас капитала посредством эффекта перелива знаний повышает производительность труда в экономике. Модель также демонстрирует возможность устойчивого экономического роста без экзогенно задаваемых темпов научно-технического прогресса, но, поскольку устойчивый экономический рост в модели достигается за счет внешних эффектов от совокупного запаса капитала, который каждая отдельная фирма считает постоянной величиной, то достигаемое равновесие не является оптимальным по Парето. Потому в централизованном равновесии в модели темпы роста выпуска и потребления оказываются выше, чем в децентрализованном. Разработана Полом Ромером в 1986 году^[33].

Модель Удзавы — Лукаса

Основная статья: Модель Удзавы — Лукаса

В модели Удзавы — Лукаса производственная функция каждой отдельной фирмы также удовлетворяет неоклассическим предпосылкам, однако общий запас человеческого капитала (в форме среднего уровня образования) повышает производительность труда в экономике. Модель демонстрирует возможность устойчивого экономического роста без экзогенно задаваемых темпов научно-технического прогресса, но, поскольку устойчивый экономический рост в модели достигается за счет внешних эффектов от среднего уровня образования, который каждая отдельная фирма считает постоянной величиной, то достигаемое равновесие не является оптимальным по Парето. Потому в централизованном равновесии в модели темпы роста выпуска и потребления оказываются выше, чем в децентрализованном. Разработана Робертом Лукасом на основе идей Хирофуми Удзавы в 1988 году^[34].

Модель Мэнкью — Ромера — Вейла

Основная статья: Модель Мэнкью — Ромера — Вейла

Модель Мэнкью — Ромера — Вейла является расширенной за счёт включения человеческого капитала версией модели Солоу, она разработана Грегори Мэнкью, Дэвидом Ромером и Дэвидом Вейлом^[фр.] в 1990 году^[35]. В том случае, если в модели Мэнкью — Ромера — Вейла вместо экзогенной ставки сбережений вводится функция полезности потребителя, и если выполняется условие ${\displaystyle \alpha +\beta =1}$, то она превращается в полный аналог упрощенный версии AK-модели^[36].

Преимущества, недостатки и дальнейшее развитие модели

AK-модель преодолевает недостаток экзогенности темпов научно-технического прогресса, присущий неоклассическим моделям (модель Рамсея — Касса — Купманса, модель пересекающихся поколений) благодаря тому, что понятие «капитал» в модели трактуется как совокупность физического и человеческого капитала, что позволяет обосновать неубывающую предельную производительность капитала в секторе инвестиционных товаров, обеспечивающую постоянные темпы экономического роста^[37].

Темпы экономического роста в модели зависят от поведения потребителей, которые выбирают субъективную ставку дисконтирования и институциональных параметров, определяющих налоговую нагрузку. В модели показано негативное влияние повышения налогов на темпы экономического роста. Даже небольшие изменения в фискальной политике могут привести к снижению не только текущего уровня потребления, но и темпов экономического роста, которые при определенных значениях параметров даже могут стать отрицательными^[38]. Однако столь сильная чувствительность к изменениям налоговой ставки рядом экономистов считается недостатком модели: в развитых странах существенно различается налоговая нагрузка, но это не приводит к сопоставимым различиям в темпах роста ВВП^[23].

AK-модели также иногда приписывается вывод о том, что доля капитала в национальном доходе должна асимптотически стремиться к 100%. Но это верно только для упрощённой версии модели, в оригинальной версии этот недостаток преодолевается^[23].

Модель не предполагает ни абсолютной, ни условной конвергенции, так как темпы роста не падают с ростом объёма выпуска, а значит, в рамках её предпосылок бедные страны не могут догнать богатые^[39]. Это более реалистичный вывод, чем у моделей Солоу и Рамсея — Касса — Купманса, предполагавших, что при одинаковых структурных параметрах бедные страны должны догонять богатые. В большинстве случаев бедные страны действительно не могут догнать богатые^[40], хотя единичные примеры таких стран известны (японское экономическое чудо, корейское экономическое чудо). Более того, в AK-модели существующие между странами разрывы со временем только нарастают, а значит, бедные страны не только не могут догнать богатые, но и все больше отстают от них. Такой вывод представляется чрезмерно пессимистичным по отношению к развивающимся странам и эмпирически не подтверждается^[41].

Некоторые исследователи в качестве достоинства модели также отмечают её простоту и отсутствие переходной динамики^[42]. Но следствием её простоты является то, что в понятие «капитал» включается много различных типов деятельности: физический капитал, человеческий капитал, обучение, создание новых продуктов. Из-за того, что столь различные понятия объединены в одну переменную ${\displaystyle K}$, модель носит достаточно ограниченный характер^[43].

Вместе с тем, отмечается, что в модели отсутствует технологический прогресс в явном виде и не раскрывается целенаправленная деятельность экономических агентов по инвестированию в новые технологии с целью извлечения прибыли^[42]. Альтернативный путь развития — импорт и внедрение новых технологий из более развитых стран — также не отражён в модели^[42].

Примечания

1. Knight, 1944.
2. Neumann, 1945.
3. Palgrave (Howitt), 2018, с. 3633.
4. Solow R., 1970.
5. Аджемоглу, 2018, с. 620.
6. Ramsey, 1928.
7. Шараев, 2006, с. 71—76.
8. Барро, Сала-и-Мартин, 2010, с. 268—269.
9. Rebelo, 1990.
10. Rebelo S., 1991.
11. Аджемоглу, 2018, с. 608.
12. Аджемоглу, 2018, с. 607.
13. Аджемоглу, 2018, с. 597.
14. Шараев, 2006, с. 73.
15. Аджемоглу, 2018, с. 609.
16. Аджемоглу, 2018, с. 599.
17. Туманова, Шагас, 2004, с. 230.
18. Аджемоглу, 2018, с. 445.
19. Palgrave (Kamihigashi), 2018, с. 13860.
20. Аджемоглу, 2018, с. 610.
21. Аджемоглу, 2018, с. 610—611.
22. Аджемоглу, 2018, с. 602.
23. Аджемоглу, 2018, с. 603.
24. Аджемоглу, 2018, с. 596—603.
25. Аджемоглу, 2018, с. 596.
26. Шараев, 2006, с. 71.
27. Аджемоглу, 2018, с. 598.
28. Шараев, 2006, с. 74.
29. Шараев, 2006, с. 75.
30. Аджемоглу, 2018, с. 601.
31. Шараев, 2006, с. 76.
32. Аджемоглу, 2018, с. 595—596.
33. Romer, 1986.
34. Lucas, 1988.
35. Mankiw, Romer, Weil, 1990.
36. Шараев, 2006, с. 101.
37. Шараев, 2006, с. 86.
38. Шараев, 2006, с. 86—87.
39. Туманова, Шагас, 2004, с. 220.
40. Аджемоглу, 2018, с. 698.
41. Аджемоглу, 2018, с. 619.
42. Аджемоглу, 2018, с. 618.
43. Туманова, Шагас, 2004, с. 216.

Литература

• Акаев А. А. Модели инновационного экономического роста AN-типа // МИР (Модернизация, Инновация, Развитие). — 2015. — Т. 6, № 2. — С. 70—79. — doi:10.18184/2079-4665.2015.6.2.70.79.
• Асемоглу Д. Введение в теорию современного экономического роста: в 2 кн. Книга 1 = Introduction to Modern Economic Growth (2009). — М.: Издательский дом «Дело» РАНХиГС, 2018. — 928 с. — ISBN 978-5-7749-1262-9.
• Барро Р. Д., Сала-и-Мартин Х. Экономический рост / Пер. с англ.. — М.: Бином. Лаборатория знаний, 2010. — 824 с. — ISBN 978-5-94774-790-4.
• Джонс Ч. И., Воллрат Д. Введение в теорию экономического роста = Introduction to Economic Growth. — М.: Издательский дом «Дело» РАНХиГС, 2018. — 296 с. — ISBN 978-5-7749-1299-5.
• Пономарёва Е.А., Божечкова А.В., Кнобель А.Ю. Факторы экономического роста. — М.:Издательский дом Дело. — 2012. — С. 20—21. — ISBN 978-5-7749-0738-0.
• Туманова Е. А., Шагас Н. Л. Макроэкономика. Элементы продвинутого подхода. — М.: ИНФРА-М, 2004. — 400 с. — ISBN 5-1600-1864-6.
• Шараев Ю. В. Теория экономического роста. — М.: Издательский дом ГУ ВШЭ, 2006. — 254 с. — ISBN 5-7598-0323-9.
• Howitt P. W. Endogenous Growth Theory // The New Palgrave Dictionary of Economics / Macmillan Publishers Ltd. — L.: Palgrave Macmillan UK, 2018. — P. 3632—3636. — ISBN 978-1-349-95188-8.
• Kamihigashi T. Transversality Conditions and Dinamic Economic Behaviour // The New Palgrave Dictionary of Economics / Macmillan Publishers Ltd. — L.: Palgrave Macmillan UK, 2018. — P. 13858—13862. — ISBN 978-1-349-95188-8.
• Knight F. H. Diminishing Returns Under Investment // Journal of Political Economy^[англ.]. — 1944. — № 1. — P. 26—41.
• Lucas R. E. Оn the mechanics of economic development // Journal of Monetary Economics. — 1988. — Vol. 22, № 1. — P. 3—42.
• Mankiw G., Romer D. , Weil D.^[фр.]. Contribution to the Empirics of Economic Growth // NBER Working paper. — 1990. — № 3541. — doi:10.3386/w3541.
• Neumann J. V. A mathematical theory of saving // The Review of Economic Studies. — 1945. — № 1. — P. 1—9.
• Ramsey F. P. A mathematical theory of saving // The Economic Journal^[англ.]. — 1928. — Vol. 38, № 152. — P. 543—559.
• Rebelo S.^[англ.]. Long-Run Policy Analysis and Long-Run Growth // NBER Working Paper. — 1990. — № 3325. — doi:10.3386/w3325.
• Rebelo S.^[англ.]. Long-Run Policy Analysis and Long-Run Growth // Journal of Political Economy^[англ.]. — 1991. — № 3. — P. 500—521. — doi:10.1086/261764.
• Romer P. M. Increasing Retunns and Long-Time Growth // Journal of Political Economy^[англ.]. — 1986. — Vol. 94, № 5. — P. 1002—1037.
• Solow R. M. Growth Theory: An Exposition. — Oxford: Oxford University Press, 1970. — 220 с. — ISBN 978-0195109030.