Модель пересекающихся поколений

Модель пересекающихся (перекрывающихся) поколений (модель Даймонда, модель Самуэльсона — Даймонда, англ. overlapping generations model) — модель экзогенного экономического роста в условиях совершенной конкуренции. Внесла вклад в понимание того, каким образом решения индивидов формируют норму сбережений в экономике. В модели отражено изменение потребительского поведения индивида по мере взросления. Вместе с тем, в модели отрицаются альтруистические связи между поколениями, и она не даёт удовлетворительного объяснения межстрановым различиям в уровне дохода на душу населения. Разработана Питером Даймондом с использованием идей Пола Самуэльсона в 1965 году.

Питер Артур Даймонд

Пол Энтони Самуэльсон

История создания

В первых моделях экономического роста (модель Солоу, модель Харрода — Домара) использовались экзогенно задаваемые параметры «норма сбережений» и «темп научно-технического прогресса», от которых, в конечном итоге, и зависели темпы роста. Исследователи же хотели получить обоснование темпов экономического роста внутренними (эндогенными) факторами, поскольку модели с заданной нормой сбережений имели ряд недостатков. Они не объясняли устойчивые различия в уровнях и темпах роста между развивающимися и развитыми странами. В модели Рамсея — Касса — Купманса был преодолён недостаток экзогенности нормы сбережений. Однако она сохранила другой недостаток ранних моделей — в ней рассматривается бесконечно живущий индивид (или домохозяйство) в качестве вечного потребителя^[1]. Но по мере взросления характер потребительского поведения меняется. Если в молодом возрасте индивид работает и делает сбережения, то в старости он эти сбережения тратит^[2]. Именно на это будущий лауреат Нобелевской премии по экономике Пол Самуэльсон обратил более пристальное внимание. В декабре 1958 года он опубликовал работу «Моделирование процентной ставки на основе соотношения потребления и кредитования при наличии или отсутствии социальной концепции денег», в которой была представлена простая модель экономики на основе идей Ойген фон Бём-Баверка о причинах существования процентного дохода на капитал, где были выделены три периода жизни индивидуума и соответствующее им потребление (в первых двух он работает, в третьем — выходит на пенсию)^[3]. В декабре 1965 года Питер Даймонд, также будущий лауреат Нобелевской премии по экономике, опубликовал работу «Национальный долг в неоклассической модели роста» в журнале The American Economic Review^[англ.], в которой он развил идеи Самуэльсона с учётом выводов модели Солоу и модели Рамсея — Касса — Купманса и представил модель пересекающихся поколений^[1][2][4], также известную как модель Даймонда^[5], модель Самуэльсона — Даймонда^[6].

Описание модели

Базовые предпосылки модели

В модели рассматривается закрытая экономика. Фирмы максимизируют свою прибыль, а потребители — полезность своих трат. Фирмы функционируют в условиях совершенной конкуренции. Производится только один продукт ${\displaystyle Y}$, используемый как для потребления ${\displaystyle C}$, так и для производственных нужд (учитывается как инвестиции) ${\displaystyle I}$. Темпы технологического прогресса ${\displaystyle g}$, роста населения ${\displaystyle n}$ и норма выбытия оборудования (капитала) ${\displaystyle \delta }$ — постоянны и задаются экзогенно. Индивидуумы живут два периода: в первом они работают, потребляют и сберегают, во втором — только потребляют, тратя накопленные в первом периоде сбережения (выходят на пенсию). Альтруистические связи между поколениями отсутствуют: молодые не помогают старикам и не получают наследство. Время ${\displaystyle t}$ изменяется дискретно^[6][7][8]. Один период в модели соответствует смене поколений, то есть в реальном выражении эквивалентен примерно 25—30 годам^[9].

Закрытость экономики означает, что произведённый продукт тратится только на сбережение и потребление, экспорт/импорт отсутствуют, инвестиции равны сбережениям:${\displaystyle S=I}$, ${\displaystyle Y=C+I}$^[10][11].

Производственная функция ${\displaystyle Y(K,L,E)}$ удовлетворяет неоклассическим предпосылкам^[12]:

1. технологический прогресс увеличивает производительность труда (нейтрален по Харроду): ${\displaystyle Y_{t}=Y(K_{t},L_{t}E_{t}),E_{t}=(1+g)E_{t-1},g=const}$.
2. в производственной функции используются труд ${\displaystyle L}$ и капитал ${\displaystyle K}$, она обладает постоянной отдачей от масштаба: ${\displaystyle Y(aK,aLE)=aY(K,LE)}$.
3. предельная производительность факторов положительная и убывающая: ${\displaystyle {\frac {\partial Y}{\partial K}}>0,{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial K^{2}}}<0,{\frac {\partial Y}{\partial L}}>0,{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial L^{2}}}<0}$.
4. производственная функция удовлетворяет условиям Инады, а именно, если запас одного из факторов бесконечно мал, то его предельная производительность бесконечно велика, если же запас одного из факторов бесконечно велик, то его предельная производительность бесконечно мала: ${\displaystyle \lim _{K\to 0}{\frac {\partial Y}{\partial K}}=\lim _{L\to 0}{\frac {\partial Y}{\partial L}}=+\infty ,\lim _{K\to +\infty }{\frac {\partial Y}{\partial K}}=\lim _{L\to +\infty }{\frac {\partial Y}{\partial L}}=0}$.
5. для производства необходим каждый фактор: ${\displaystyle Y(K,0)=Y(0,LE)=0}$.

Население ${\displaystyle L_{t}}$ растёт с постоянным темпом ${\displaystyle n}$: ${\displaystyle L_{t}=(1+n)L_{t-1},n=const}$. В каждом периоде ${\displaystyle t}$ живёт ${\displaystyle L_{t}}$ молодых и ${\displaystyle L_{t-1}}$ пожилых индивидов. Совокупное потребление ${\displaystyle C}$ равно^[13]:

${\displaystyle C_{t}=c_{1t}L_{t}+c_{2t}L_{t-1}}$,

где ${\displaystyle c_{1t}L_{t}}$ — потребление работающего поколения, ${\displaystyle c_{2t}L_{t-1}}$ — потребление вышедшего на пенсию поколения.

Молодой индивид предлагает одну единицу труда (предложение труда неэластично) и получает натуральную заработную плату (неким количеством единственного товара, деньги отсутствуют). Каждый индивид выбирает и разделяет полученное между потреблением в молодости или сбережением и потреблением в старости, максимизируя межвременную полезность своих трат, которая описывается следующей функцией^[14]:

${\displaystyle U_{t}={\frac {c_{1t}^{1-\theta }-1}{1-\theta }}+{\frac {1}{1+\rho }}\times {\frac {c_{2t+1}^{1-\theta }-1}{1-\theta }}}$,

где ${\displaystyle {\frac {1}{\theta }}}$ — эластичность замещения по времени, ${\displaystyle \theta >0}$, ${\displaystyle \theta =const}$, ${\displaystyle {\rho }}$ — коэффициент межвременного предпочтения потребителя, ${\displaystyle \rho >-1}$, ${\displaystyle \rho =const}$.

Функция удовлетворяет условиям ${\displaystyle u'(c)>0,u''(c)<0}$ и условиям Инады (при потреблении, стремящемся к нулю, предельная полезность стремится к бесконечности; при потреблении, стремящемся к бесконечности, предельная полезность стремится к нулю): ${\displaystyle \lim _{c\to 0}u'(c)=+\infty$ ;\lim _{c\to \infty }u'(c)=0} .

Вначале весь капитал ${\displaystyle K_{0}}$ находится у пожилых, они его полностью тратят в течение первого периода. Сбережения равны инвестициям, которые делает молодое поколение. Инвестиции в свою очередь равны капиталу в следующем периоде^[6][15]:

${\displaystyle S_{t}=s_{t}L_{t}=I_{t}=K_{t+1}}$,

где ${\displaystyle s_{t}}$ — сбережения в расчёте на одного работника.

Для поиска решения модели используются удельные показатели: выпуск на единицу эффективного труда ${\displaystyle y={\frac {Y}{LE}}}$, капитал на единицу эффективного труда ${\displaystyle k={\frac {K}{LE}}}$^[16].

Задача потребителя

Потребитель максимизирует межвременную полезность своих трат. Поскольку, согласно модели, индивид работает только в молодости (первом периоде), межвременное бюджетное ограничение потребителя соответствует формуле^[17]:

${\displaystyle c_{1t}+{\frac {c_{2t+1}}{1+r_{t+1}}}=w_{t}E_{t}}$.

Таким образом, задача потребителя имеет следующий вид:

${\displaystyle U_{t}\rightarrow max}$

при условии:

${\displaystyle w_{t}E_{t}-c_{1t}-{\frac {c_{2t+1}}{1+r_{t+1}}}=0}$,

где ${\displaystyle w_{t}}$ — реальная заработная плата в периоде ${\displaystyle t}$.

Для решения этой задачи составляется функция Лагранжа и находится её максимум^[17].

Нахождение максимума функции Лагранжа

${\displaystyle L={\frac {c_{1t}^{1-\theta }-1}{1-\theta }}+{\frac {c_{2t}^{1-\theta }-1}{(1-\theta )(1+\rho )}}+\lambda {\biggl (}w_{t}E_{t}-c_{1t}-{\frac {c_{2t+1}}{r_{t+1}}}{\biggr )}}$.

Условия максимума:

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\partial L}{\partial c_{1t}}}=c_{1t}^{-\theta }-\lambda =0,\\{\frac {\partial L}{\partial c_{2t+1}}}={\frac {c_{2t+1}^{-\theta }}{1+\rho }}-{\frac {\lambda }{1+r_{t+1}}}=0,\\{\frac {\partial L}{\partial \lambda }}=w_{t}E_{t}-c_{1t}-{\frac {c_{2t+1}}{1+r_{t+1}}}=0.\end{cases}}}$

Результатом решения этой системы уравнений является норма сбережений ${\displaystyle {\bar {s}}_{t}}$ для периода ${\displaystyle t}$^[15]:

${\displaystyle {\bar {s}}_{t}={\frac {{(1+r_{t+1})}^{\frac {1-\theta }{\theta }}}{(1+\rho )^{\frac {1}{\theta }}+{(1+r_{t+1})}^{\frac {1-\theta }{\theta }}}}}$.

Задача фирмы

Фирма максимизирует свою прибыль ${\displaystyle \pi }$. Выпуск фирмы описывается неоклассической производственной функцией^[18]:

${\displaystyle y_{t}=f({\hat {k}}_{t})}$, где ${\displaystyle {\hat {k}}_{t}={\frac {K_{t}}{L_{t}E_{t}}}}$.

Задача фирмы выглядит следующим образом:

${\displaystyle \pi =F(K_{t},L_{t})-r_{t}K_{t}-w_{t}L_{t}\rightarrow \max }$

В условиях совершенной конкуренции решение задачи фирмы приводит к тому, что плата за труд (заработная плата) ${\displaystyle w}$ и плата за капитал ${\displaystyle r}$ (процентная ставка) равны соответствующим предельным производительностям^[19][18]:

${\displaystyle {\frac {\partial Y_{t}}{\partial L}}=w_{t}=f({\hat {k}}_{t})-{\hat {k}}_{t}f'({\hat {k}}_{t})}$,

${\displaystyle {\frac {\partial Y_{t}}{\partial K}}=r_{t}+\delta =f'({\hat {k}}_{t})}$.

Общее экономическое равновесие

Модель пересекающихся поколений, фазовая плоскость, вариант 1

Модель пересекающихся поколений, фазовая плоскость, вариант 2

Модель пересекающихся поколений, фазовая плоскость, производственная функция Кобба — Дугласа, логарифмическая функция полезности: достижение равновесия

По предпосылкам модели:${\displaystyle K_{t+1}=s_{t}L_{t}}$. Откуда с учётом решения задач потребителя и фирмы, получаем^[19]:

${\displaystyle {\hat {k}}_{t+1}={\frac {1}{(1+n)(1+g)}}\times {\frac {(1+f'({\hat {k}}_{t+1})-\delta )^{\frac {1-\theta }{\theta }}}{(1+\rho )^{\frac {1}{\theta }}+(1+f'({\hat {k}}_{t+1})-\delta )^{\frac {1-\theta }{\theta }}}}\times (f({\hat {k}}_{t})-{\hat {k}}_{t}f'({\hat {k}}_{t}))}$.

Поскольку ${\displaystyle {\hat {k}}_{t+1}}$ входит как в правую, так и в левую части уравнения, найти явные решения этого уравнения можно только введя дополнительные предпосылки. При условии, что потребление в первом периоде и потребление во втором периоде являются совершенными заменителями, то равновесие существует. Если при этом сбережения монотонно возрастают по процентной ставке (${\displaystyle s_{t}'(r_{t})>0}$), то это равновесие является единственным.

Если обозначить ${\displaystyle s(r_{t+1},w_{t})={\frac {s_{t}}{E_{t}}}}$, где ${\displaystyle s(r_{t+1},w_{t})}$ — сбережения в расчёте на единицу труда с постоянной эффективностью в периоде ${\displaystyle t}$, то уравнение примет вид^[20]:

${\displaystyle (1+n)(1+g){\hat {k}}_{t+1}=s{\bigl (}[f'({\hat {k}}_{t+1})-\delta ],[f({\hat {k}}_{1})-{\hat {k}}_{t}f'({\hat {k}}_{t})]{\bigr )}}$.

Откуда можно выразить динамику капиталовооружённости^[20]:

${\displaystyle {\frac {\partial {\hat {k}}_{t+1}}{\partial {\hat {k}}_{t}}}={\frac {-s'_{w}{\hat {k}}_{t}f''({\hat {k}}_{t})}{(1+n)(1+g)-s'_{r}f''({\hat {k}}_{t+1})}}}$.

В результате может получиться два варианта фазовой плоскости (см. иллюстрации). В первом варианте кривая ${\displaystyle {\frac {\partial {\hat {k}}_{t+1}}{\partial {\hat {k}}_{t}}}}$ выходит из начала координат под углом более чем 45° (выше линии ${\displaystyle {\hat {k}}_{t}={\hat {k}}_{t+1}}$), и в модели будет нечётное число равновесных состояний (пересечения ${\displaystyle {\frac {\partial {\hat {k}}_{t+1}}{\partial {\hat {k}}_{t}}}}$ и ${\displaystyle {\hat {k}}_{t+1}={\hat {k}}_{t}}$), из которых пересечения, по порядку идущие нечётными от начала координат (первое, третье, пятое и т. д.), будут устойчивыми равновесиями, а идущие чётными (второе, четвёртое и т. д.) — неустойчивыми. Во втором варианте кривая ${\displaystyle {\frac {\partial {\hat {k}}_{t+1}}{\partial {\hat {k}}_{t}}}}$ выходит из начала координат под углом менее чем 45° (ниже линии ${\displaystyle {\hat {k}}_{t}={\hat {k}}_{t+1}}$), и в модели будет чётное число равновесных состояний, из которых пересечения, идущие чётными от начала координат (второе, четвёртое и т. д.), будут устойчивыми равновесиями, а идущие нечётными (первое, третье и т. д.) — неустойчивыми^[21].

Равновесие для производственной функции Кобба-Дугласа и логарифмической функции полезности

Наглядно достижение равновесия можно продемонстрировать в случае логарифмической функции полезности и производственной функции Кобба-Дугласа. В этом случае ${\displaystyle \theta =0}$, а полезность трат для индивида описывается функцией^[22]:

${\displaystyle U=\ln(c_{1t})+{\frac {\ln(c_{2t+1})}{1+\rho }}}$.

Выпуск ${\displaystyle Y}$ описывается следующей функцией:

${\displaystyle Y=K^{\alpha }(LE)^{1-\alpha }}$.

Тогда, норма сбережений равна: ${\displaystyle {\bar {s}}_{t}={\bar {s}}={\frac {1}{2+\rho }}}$, а устойчивый уровень капиталовооружённости (в данном случае существует только одно равновесное состояние) равен^[22][23]: ${\displaystyle {\hat {k}}^{*}={\biggl (}{\frac {1-\alpha }{(1+n)(1+g)(2+\rho )}}{\biggr )}^{\frac {1}{1-\alpha }}}$.

Процесс достижения равновесия на фазовой плоскости для рассматриваемого случая показан на иллюстрации.

Устойчивый уровень выпуска на единицу труда с постоянной эффективностью ${\displaystyle {\hat {y}}^{*}}$ в этом случае составляет:

${\displaystyle {\hat {y}}^{*}={\hat {k}}^{*\alpha }={\biggl (}{\frac {1-\alpha }{(1+n)(1+g)(2+\rho )}}{\biggr )}^{\frac {\alpha }{1-\alpha }}}$.

Как и в моделях Солоу и Рамсея — Касса — Купманса, потребление максимально в том случае, если ${\displaystyle f'({\hat {k}}^{*})=n+g+\delta }$. Таким образом, в модели возможна динамическая неэффективность (избыточное накопление капитала), в том случае, если^[24]:

${\displaystyle {\frac {\alpha (1+n)(1+g)(2+\rho )}{1-\alpha }}<n+g+\delta }$.

Конвергенция

Модель предполагает наличие условной конвергенции, то есть, что страны с малым уровнем капиталовооружённости будут расти более высокими темпами, чем страны с большим уровнем капиталовооружённости, при условии, что устойчивое состояние у них одинаково. Частный случай с производственной функцией Кобба — Дугласа и логарифмической полезностью позволяет оценить, насколько быстро она происходит. Скорость приближения к устойчивому состоянию можно оценить при помощи линейной аппроксимации ${\displaystyle {\hat {k}}_{t+1}}$ в зависимости от ${\displaystyle {\hat {k}}_{t}}$ посредством разложения в ряд Тейлора^[25]:

${\displaystyle {\hat {k}}_{t+1}\approx {\hat {k}}^{*}+{\frac {\partial {\hat {k}}_{t+1}}{\partial {\hat {k}}_{t}}}\vert _{{\hat {k}}_{t}={\hat {k}}^{*}}({\hat {k}}_{t}-{\hat {k}}^{*})}$.

Если обозначить производную в точке равновесия ${\displaystyle \lambda ={\frac {\partial {\hat {k}}_{t+1}}{\partial {\hat {k}}_{t}}}\vert _{{\hat {k}}_{t}={\hat {k}}^{*}}}$, то путем рекуррентных постановок получается следующее уравнение приближения к равновесному состоянию:

${\displaystyle {\hat {k}}_{t+1}-{\hat {k}}^{*}=\lambda ^{t}({\hat {k}}_{0}-{\hat {k}}^{*})}$.

Для рассматриваемого случая, ${\displaystyle \lambda =\alpha }$, потому:

${\displaystyle {\hat {k}}_{t+1}-{\hat {k}}^{*}=\lambda ^{t}({\hat {k}}_{0}-{\hat {k}}^{*})=\alpha ^{t}({\hat {k}}_{0}-{\hat {k}}^{*})}$.

Таким образом, в рассматриваемом случае скорость конвергенции напрямую зависит от ${\displaystyle \alpha }$ — доли дохода на капитал в общем доходе. Чем меньше доля дохода на капитал, тем быстрее происходит движение к равновесному состоянию, и тем быстрее бедные страны догоняют богатые^[9].

Фискальная политика в модели

Модель пересекающихся поколений, фазовая плоскость, фискальная политика

Модель позволяет оценить влияние фискальной политики на равновесие. В рамках модели, увеличение налогов и государственных расходов приводит к равновесию с меньшим уровнем капиталовооружённости, выпуска и потребления. Влияние бюджетно-налоговой политики показано на диаграмме. Кривая ${\displaystyle {\frac {\partial {\hat {k}}_{t+1}}{\partial {\hat {k}}_{t}}}}$ сдвигается вниз на величину ${\displaystyle {\hat {G}}_{t}={\hat {T}}_{t}}$ — налогов (государственных расходов) на единицу эффективного труда, величина налогов предполагается равной величине государственных расходов, которые не влияют на полезность индивидов и будущий выпуск. Равновесие сдвигается из точки ${\displaystyle A}$ (устойчивое равновесие) в точку ${\displaystyle B}$ (устойчивое равновесие), и устанавливается на более низком уровне капиталовооружённости ${\displaystyle {\hat {k}}^{*}:{\hat {k}}_{B}^{*}<{\hat {k}}_{A}^{*}}$ и потребления. Появившаяся третья равновесная точка ${\displaystyle C}$ является неустойчивым равновесием. Равенство Рикардо — Барро не выполняется^[6][26]. Таким образом, в модели государственные расходы вытесняют как потребление, так и инвестиции^[27].

Преимущества, недостатки и дальнейшее развитие модели

Одним из существенных недостатков модели является полное отрицание альтруистических связей между поколениями^[28]. Чтобы преодолеть этот недостаток, Джеймс Андреони, а также Роберт Барро и Хавьер Сала-и-Мартин предложили ввести в функцию полезности трат каждого индивида полезность трат его детей с некоторым коэффициентом^[29][4]. В этом случае модель превращается в дискретный аналог модели Рамсея — Касса — Купманса для случая когда ${\displaystyle \rho =0}$. Динамическая неэффективность становится невозможной, а последствия бюджетно-налоговой политики отвечают равенству Рикардо — Барро. Однако в этом случае модель приобретает и недостатки модели Рамсея — Касса — Купманса: утрачивается возможность несовершенства рынка (динамической неэффективности), а значит, модель перестает объяснять причины, приводящие к неоптимальному по Парето равновесию в экономике^[26].

Пол Самуэльсон использовал данную модель для исследования влияния распределительной пенсионной системы на общее экономическое равновесие. В работе показано, что, если в экономике установилось динамически неэффективное равновесие с избыточным накоплением капитала, то распределительная пенсионная система позволяет перейти к более оптимальному распределению ресурсов с более высоким потреблением^[30][31]. Если же используется накопительная пенсионная система, то экономическое равновесие остается прежним^[32].

Модификация модели с непрерывным временем, в которой жизнь индивида не делится на периоды молодости и старости, однако индивид может умереть в любой момент с некоторой вероятностью, была разработана Менахемом Яари^[33] и Оливье Бланшаром^[34]. Из-за того, что в этой модификации вероятность смерти индивида не меняется с возрастом, она получила название «модель вечной молодости»^[35]. В ней существует единственное равновесное значение капиталовооружённости, которое при этом устойчиво, и так же, как и в основном варианте, присутствует возможность избыточного накопления в точке равновесия^[36].

В целом, модель пересекающихся поколений более реалистично описывает общее экономическое равновесие и процесс его достижения, чем модели Солоу или Рамсея — Касса — Купманса^[26]. Преимуществом модели является возможность динамической неэффективности, однако в модели она связана с избыточным накоплением капитала, которое не является типичной проблемой развивающихся стран, напротив, характеризующихся недостаточным накоплением капитала^[37]. К тому же, модель предполагает наличие условной конвергенции, что означает, что бедные страны должны расти быстрее богатых при условии схожести структурных параметров, но в реальности этого не происходит, как показали, например, исследования Р. Холла и Ч. Джонса^[38], Дж. Де Лонга^[39], П. Ромера^[40]. Также, как и в моделях Солоу и Рамсея — Касса — Купманса, научно-технический прогресс в модели пересекающихся поколений не является следствием принятия решений экономическими агентами, а задаётся экзогенно. Потому, при всех своих достоинствах, модель не даёт ответа на вопрос, почему одни страны богатые, а другие — бедные, и почему вторые не могут догнать первых^[37].

Примечания

1. Аджемоглу, 2018, с. 501.
2. Туманова, Шагас, 2004, с. 252.
3. Samuelson, 1958.
4. Барро, Сала-и-Мартин, 2010, с. 252.
5. Ромер Д., 2014, с. 110.
6. Diamond, 1965.
7. Туманова, Шагас, 2004, с. 252—256.
8. Аджемоглу, 2018, с. 501—505.
9. Туманова, Шагас, 2004, с. 264.
10. Туманова, Шагас, 2004, с. 187.
11. Аджемоглу, 2018, с. 36—47.
12. Туманова, Шагас, 2004, с. 256.
13. Аджемоглу, 2018, с. 505.
14. Аджемоглу, 2018, с. 509.
15. Туманова, Шагас, 2004, с. 255.
16. Аджемоглу, 2018, с. 91.
17. Туманова, Шагас, 2004, с. 254.
18. Аджемоглу, 2018, с. 506.
19. Туманова, Шагас, 2004, с. 257.
20. Туманова, Шагас, 2004, с. 258.
21. Туманова, Шагас, 2004, с. 260.
22. Туманова, Шагас, 2004, с. 262.
23. Аджемоглу, 2018, с. 513.
24. Туманова, Шагас, 2004, с. 265.
25. Туманова, Шагас, 2004, с. 263.
26. Туманова, Шагас, 2004, с. 271.
27. Туманова, Шагас, 2004, с. 267.
28. Туманова, Шагас, 2004, с. 268.
29. Andreoni, 1989.
30. Samuelson P., 1975.
31. Аджемоглу, 2018, с. 522.
32. Аджемоглу, 2018, с. 520.
33. Yaari, 1965.
34. Blanchard, 1985.
35. Аджемоглу, 2018, с. 544.
36. Аджемоглу, 2018, с. 539.
37. Аджемоглу, 2018, с. 542.
38. Hall, Jones, 1996.
39. De Long, 1988.
40. Romer P. M., 1989.

Литература

• Аджемоглу Д. Введение в теорию современного экономического роста: в 2 кн. Книга 1 = Introduction to Modern Economic Growth (2009). — М.: Издательский дом «Дело» РАНХиГС, 2018. — 928 с. — ISBN 978-5-7749-1262-9.
• Барро Р. Д., Сала-и-Мартин Х. Экономический рост / Пер. с англ.. — М.: Бином. Лаборатория знаний, 2010. — 824 с. — ISBN 978-5-94774-790-4.
• Бланшар О. Ж., Фишер С. Лекции по макроэкономике = Lectures on macroeconomics. — М.: Издательский дом «Дело» РАНХиГС, 2014. — 680 с. — ISBN 978-5-7749-0829-5.
• Ромер Д. Высшая макроэкономика = Advanced Macroeconomics. — М.: Издательский дом ВШЭ, 2014. — 855 с. — ISBN 978-5-7568-0406-2.
• Туманова Е. А., Шагас Н. Л. Макроэкономика. Элементы продвинутого подхода. — М.: ИНФРА-М, 2004. — 400 с. — ISBN 5-1600-1864-6.
• Andreoni J.^[англ.]. Giving with Impure Altruism: Applications to Charity and Ricardian Equivalence // Journal of Political Economy^[англ.]. — 1989. — Vol. 97, № 6. — P. 1447—1458. — doi:10.1086/261662.
• Blanchard O. J. Debt, Deficits and Finite Horizons // Journal of Political Economy^[англ.]. — 1985. — Vol. 93, № 2. — P. 223—247. — doi:10.1086/261297.
• De Long J. B. Productivity Growth, Convergence, and Welfare: Comment // The American Economic Review^[англ.]. — 1988. — Vol. 78, № 5. — P. 1138—1154.
• Diamond P. A. National Debt in Neoclassical Growth Model // The American Economic Review^[англ.]. — 1965. — Vol. 55, № 5. — P. 1126—1150.
• Hall R. E., Jones C. I. The Productivity of Nations // NBER Working Paper. — 1996. — № 5812. — doi:10.3386/w5812.
• Romer P. M. Human Capital And Growth: Theory and Evidence // NBER Working paper. — 1989. — № 3173. — doi:10.3386/w3173.
• Samuelson P. A. An exact Consumption-Loan Model of Interest with or without the Social Contrivance of Money // Journal of Political Economy^[англ.]. — 1958. — Vol. 66, № 6. — P. 467—482. — doi:10.1086/258100.
• Samuelson P. A. Optimum Social Security in a Life-Cycle Growth Model // International Economic Review^[англ.]. — 1975. — Vol. 16, № 3. — P. 539—544. — doi:10.2307/2525994.
• Yaari M. E. Uncertain Lifetime, Life Insurance, and the Theory of the Consumer // The Review of Economic Studies^[англ.]. — 1965. — Vol. 32, № 2. — P. 137—150. — doi:10.2307/2296058.