Экстремум

У этого термина существуют и другие значения, см. Экстремум (значения).

Экстре́мум (лат. extremum — крайнее) в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума. В математическом анализе выделяют также понятие локальный экстремум (соответственно минимум или максимум).

Функция (синяя) и её производная (красная). Глобальный максимум функции обозначен символом ${\displaystyle \star }$, её глобальный минимум — ☐, локальный максимум — ◇, локальный минимум — +, нуль производной без экстремума — ╳. Видно, что остальные нули производной соответствуют точкам экстремума функции.

Задачи нахождения экстремума возникают во всех областях человеческого знания: теория автоматического управления, проблемы экономики, биология, физика и т. д.^[1]

Определения

Пусть дана функция ${\displaystyle f:M\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,}$ и ${\displaystyle x_{0}\in M^{0}}$ — внутренняя точка области определения ${\displaystyle f.}$ Тогда

• ${\displaystyle x_{0}}$ называется точкой локального максимума функции ${\displaystyle f,}$ если существует проколотая окрестность ${\displaystyle {\dot {U}}(x_{0})}$ такая, что

  ${\displaystyle \forall x\in {\dot {U}}(x_{0})\quad f(x)\leqslant f(x_{0});}$

• ${\displaystyle x_{0}}$ называется точкой локального минимума функции ${\displaystyle f,}$ если существует проколотая окрестность ${\displaystyle {\dot {U}}(x_{0})}$ такая, что

  ${\displaystyle \forall x\in {\dot {U}}(x_{0})\quad f(x)\geqslant f(x_{0}).}$

• ${\displaystyle x_{0}}$ называется точкой глобального (абсолютного) максимума, если

  ${\displaystyle \forall x\in M\quad f(x)\leqslant f(x_{0});}$

• ${\displaystyle x_{0}}$ называется точкой глобального (абсолютного) минимума, если

  ${\displaystyle \forall x\in M\quad f(x)\geqslant f(x_{0}).}$

Если неравенства выше строгие, то ${\displaystyle x_{0}}$ называется точкой строгого локального или глобального максимума или минимума соответственно.

Значение функции ${\displaystyle f(x_{0})}$ называют соответственно (строгим) локальным или глобальным максимумом или минимумом. Точки, являющиеся точками (локального) максимума или минимума, называются точками (локального) экстремума.

Замечание

Функция ${\displaystyle f,}$ определённая на множестве ${\displaystyle M,}$ может не иметь на нём ни одного локального или глобального экстремума. Например, ${\displaystyle f(x)=x,\;x\in (-1,1).}$

Функция, тождественно равная константе в любой точке, не имеет экстремумов.

Необходимые условия существования локальных экстремумов

• Из леммы Ферма вытекает следующее^[2]:

Пусть точка ${\displaystyle x_{0}}$ является точкой экстремума функции ${\displaystyle f}$, определенной в некоторой окрестности точки ${\displaystyle x_{0}}$.

Тогда либо производная ${\displaystyle f'(x_{0})}$ не существует, либо ${\displaystyle f'(x_{0})=0}$.

Эти условия не являются достаточными, так, функция может иметь нуль производной в точке, но эта точка может не быть точкой экстремума, а являться, скажем, точкой перегиба, как точка (0,0) у функции ${\displaystyle f(x)=x^{3}}$.

Достаточные условия существования локальных экстремумов

• Пусть функция ${\displaystyle f\in C(x_{0})}$ непрерывна в ${\displaystyle x_{0}\in M^{0},}$ и существуют конечные или бесконечные односторонние производные ${\displaystyle f'_{+}(x_{0}),f'_{-}(x_{0})}$. Тогда при условии

${\displaystyle f'_{+}(x_{0})<0,\;f'_{-}(x_{0})>0}$

${\displaystyle x_{0}}$ является точкой строгого локального максимума. А если

${\displaystyle f'_{+}(x_{0})>0,\;f'_{-}(x_{0})<0,}$

то ${\displaystyle x_{0}}$ является точкой строгого локального минимума.

Заметим, что при этом функция не обязательно дифференцируема в точке ${\displaystyle x_{0}}$.

• Пусть функция ${\displaystyle f}$ непрерывна и дважды дифференцируема в точке ${\displaystyle x_{0}}$. Тогда при условии

${\displaystyle f'(x_{0})=0}$ и ${\displaystyle f''(x_{0})<0}$

${\displaystyle x_{0}}$ является точкой локального максимума. А если

${\displaystyle f'(x_{0})=0}$ и ${\displaystyle f''(x_{0})>0}$

то ${\displaystyle x_{0}}$ является точкой локального минимума.

• Пусть функция ${\displaystyle f}$ дифференцируема ${\displaystyle n}$ раз в точке ${\displaystyle x_{0}}$ и ${\displaystyle f'(x_{0})=f''(x_{0})=\dots =f^{(n-1)}(x_{0})=0}$, а ${\displaystyle f^{(n)}(x_{0})\neq 0}$.

Если ${\displaystyle n}$ чётно и ${\displaystyle f^{(n)}(x_{0})<0}$, то ${\displaystyle x_{0}}$ — точка локального максимума. Если ${\displaystyle n}$ чётно и ${\displaystyle f^{(n)}(x_{0})>0}$, то ${\displaystyle x_{0}}$ — точка локального минимума. Если ${\displaystyle n}$ нечётно, то экстремума нет.

См. также

• Критическая точка (математика)
• Методы оптимизации
• Условный экстремум

Примечания

1. Пшеничный, 1969, с. 7.
2. Кудрявцев Л. Д. Математический анализ. — 2-е изд. — М.: Высшая школа, 1973. — Т. 1.

Литература

• Пшеничный Б.Н. Необходимые условия экстремума. — М.: Наука, 1969. — 150 с.