Лемма Ферма

Лемма Ферма́ — одно из базовых утверждений классического анализа: производная дифференцируемой функции в точке локального экстремума равна нулю.

Выдвинуто Николаем Орезмским в его учении о широтах и долготах^[1]; у Ньютона этот факт упоминался как «принцип остановки»^[2]: «когда величина есть наибольшая или наименьшая из всех возможных, то она в этот момент не течёт ни вперёд, ни назад».

В современной нотации для функции ${\displaystyle f\colon M\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$, имеющей во внутренней точке области определения ${\displaystyle x\in M^{0}}$ локальный экстремум и имеющей односторонние производные ${\displaystyle f'_{+}(x_{0}),f'_{-}(x_{0})}$ (конечные или бесконечные), утверждение формулируется следующим образом:

• если ${\displaystyle x_{0}}$ — точка локального максимума, то

  ${\displaystyle f'_{+}(x_{0})\leqslant 0,\;f'_{-}(x_{0})\geqslant 0}$;

• если ${\displaystyle x_{0}}$ — точка локального минимума, то

  ${\displaystyle f'_{+}(x_{0})\geqslant 0,\;f'_{-}(x_{0})\leqslant 0}$.

В частности, если функция ${\displaystyle f}$ имеет в ${\displaystyle x_{0}}$ производную, то ${\displaystyle f'(x_{0})=0}$.

Производная дифференцируемой функции в точке локального экстремума равна нулю. Её касательная в этой точке параллельна оси абсцисс. Обратное, вообще говоря, неверно, то есть из равенства нулю производной в некоторой точке не следует, что это точка экстремума (вместо этого она может быть точкой перегиба).

Примеры

Для ${\displaystyle f(x)=|x|}$ точка ${\displaystyle x=0}$ — локальный минимум, и:

${\displaystyle f'_{+}(0)=1\geqslant 0}$, ${\displaystyle f'_{-}(0)=-1\leqslant 0}$

(при этом сама функция не является дифференцируемой в точке ${\displaystyle x=0}$).

Для ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ точка ${\displaystyle x=0}$ — локальный минимум, и ${\displaystyle f'(0)=0}$.

Для ${\displaystyle f(x)=x^{3}}$ производная в нуле обращается в нуль (${\displaystyle f'(0)=0}$), но точка ${\displaystyle x=0}$ не является точкой локального экстремума.

Примечания

1. Исаак Ньютон. Примечания переводчика // Исаак Ньютон. Математические работы = Isaaci Newtoni, Opuscula mathematica, philosophica et philologica, t. I, Lausannae et Geuevae 1744 / Перевод с латинского, вводная статья и комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского.. — М.—Л.: ОНТИ, 1937. — С. 318. — 452 с. — (Классики естествознания). Архивировано 27 февраля 2011 года. Архивированная копия  (неопр.). Дата обращения: 17 января 2011. Архивировано 27 февраля 2011 года.
2. Фихтенгольц Г. М. Глава XIV. Исторический очерк возникновения основных идей математического анализа // Основы математического анализа. — 4-е изд. — СПб.: «Лань», 2002. — Т. 1. — С. 423. — 448 с. — (Учебники для вузов. Специальная литература). — 5000 экз. — ISBN 5-9511-0010-0.