Точка перегиба

Точка перегиба — точка плоской кривой, в которой её ориентированная кривизна меняет знак. Если кривая является графиком функции, то в этой точке выпуклая часть функции отделяется от вогнутой (то есть вторая производная функции меняет знак).

График функции y = x³ с точкой перегиба (0, 0), также являющейся седловой точкой.

Корни, стационарные точки, точки перегиба и выпуклость кубического многочлена x³ − 3x² − 144x + 432 (чёрная линия) и его первой и второй производных (красная и синяя линии).

Определения

Точка (простого) перегиба регулярной кривой — это такая точка этой кривой, в которой касательная к кривой имеет с ней соприкосновение второго порядка и разбивает кривую, то есть точки кривой, лежащие в некоторой окрестности данной точки по разные стороны от этой точки, лежат также по разные стороны от касательной^[1][2]. Если кривая 2-регулярна, то условие заменяется на следующее: ориентированная кривизна кривой при переходе через точку перегиба изменяет знак. Точкой высшего (вырожденного) перегиба кривой называется такая её точка, касательная к кривой в которой имеет с ней соприкосновение, порядок которого не ниже трёх, и касательная разбивает кривую^[1].

Условие смены знака ориентированной кривизны не равносильно разбиению кривой на вогнутую и выпуклую часть. Так, в случае точки возврата кривая может не иметь касательной. Для исключения этого вышеприведённых определениях требуется регулярность кривой. Более интересный случай — функция ${\displaystyle y=x^{5}(1+\sin ^{2}{\frac {1}{x}})}$ при ${\displaystyle x\neq 0,y=0}$ при ${\displaystyle x=0}$, которая в точке 0 касается оси x и пересекает её, но меняет знак вблизи нуля бесконечное число раз; здесь даже существует вторая непрерывная производная^[3]. Для исключения такого случая требуют, чтобы функция имела изолированный экстремум (см. ниже).

Точка кривой называется точкой распрямления, если кривизна кривой в этой точке равна нулю^[4]. Иногда точку распрямления кривой, не являющуюся точкой перегиба этой кривой, называют параболической точкой распрямления^[1].

Дифференцируемая функция имеет точку перегиба ${\displaystyle (x,f(x))}$ тогда и только тогда, когда её первая производная, ${\displaystyle f'}$, имеет изолированный экстремум в точке ${\displaystyle x}$ (это не то же самое, что ${\displaystyle f}$ имеет экстремум в этой точке). То есть в некоторой окрестности точки ${\displaystyle x}$ имеется одна и только одна точка, в которой ${\displaystyle f'}$ имеет (локальный) минимум или максимум. Если все экстремумы функции ${\displaystyle f'}$ изолированы, то точка перегиба — это точка на графике ${\displaystyle f}$, в которой касательная пересекает кривую^[5][6].

Высшей (вырожденной) вершиной регулярной кривой называется такая её точка, в которой соприкасающаяся окружность имеет с ней касание, порядок которого выше третьего^[1].

Восходящая точка перегиба — это точка перегиба, где производная имеет локальный минимум, и нисходящая точка перегиба— это точка перегиба, где производная имеет локальный максимум.

Для алгебраической кривой несингулярная точка является точкой перегиба тогда и только тогда, когда кратность точки пересечения касательной с кривой нечётна и больше двух^[7].

Свойства

Точка перегиба ${\displaystyle m}$ однозначно характеризуется двумя свойствами:

• в точке ${\displaystyle m}$ кривая имеет единственную касательную,
• в достаточно малой окрестности точки ${\displaystyle m}$ кривая расположена внутри одной пары противоположных углов, образуемых касательной и нормалью.

Если кривая задана как график дифференцируемой функции ${\displaystyle f}$, точка перегиба является точкой экстремума для ${\displaystyle f'}$.

Необходимое и достаточное условия

График функции f(x) = sin(2x) от −π/4 до 5π/4. Заметьте, вторая производная функции f равна f″(x) = −4sin(2x). Касательная отражена зелёным цветом, где кривая выпукла (под касательной), синим, где кривая вогнута (выше касательной), и красным цветом в точках перегиба 0, π/2 и π

Если ${\displaystyle x}$ является точкой перегиба для ${\displaystyle f}$, то вторая производная ${\displaystyle f''(x)}$ равна нулю, если существует, но это условие не является достаточным. Требуется, чтобы наименьший порядок ненулевой производной (выше второй) был нечётным (третья, пятая и т. д. производные). Если наименьший порядок ненулевой производной чётен, точка не является точкой перегиба, а является параболической точкой распрямления ^[8]. В алгебраической геометрии, однако, как точки перегиба, так и точки спрямления обычно называют точками перегиба.

Определение предполагает, что ${\displaystyle f}$ имеет ненулевую производную более высокого порядка по ${\displaystyle x}$, которая не обязательно существует. Но если таковая существует, из определения следует, что знак ${\displaystyle f'(x)}$ постоянен по обеим сторонам от ${\displaystyle x}$ в окрестности точки ${\displaystyle x}$.

Достаточное условие точки перегиба:

1) Достаточным условием точки перегиба является:

Если ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle k}$ раз непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки ${\displaystyle x}$, где ${\displaystyle k}$ нечётно и ${\displaystyle k\geq 3}$, ${\displaystyle f^{(n)}(x_{0})=0}$ для ${\displaystyle n=2,\dots ,k-1}$ и ${\displaystyle f^{(k)}(x_{0})\neq 0}$, то ${\displaystyle x_{0}}$ является точкой перегиба ${\displaystyle f(x)}$.

2) Другое достаточное условие требует, чтобы ${\displaystyle f''(x+\varepsilon )}$ и ${\displaystyle f''(x-\varepsilon )}$ имели разные знаки в окрестности точки x при условии, что в данной точке существует касательная^[2].

Классификация точек перегиба

Точки перегиба можно классифицировать согласно производной ${\displaystyle f'(x)}$:

• если ${\displaystyle f'(x)}$ равно нулю, точка является стационарной точкой перегиба;
• если ${\displaystyle f'(x)}$ не равно нулю, точка является нестационарной точкой перегиба.

y = x⁴ — x имеет вторую производную в точке (0,0), но она не является точкой перегиба, поскольку четвёртая производная является первым ненулевым порядком производной (третья производная равна нулю).

Примером седловой точки является точка ${\displaystyle (0,0)}$ графика ${\displaystyle y=x^{3}}$. Касательной служит ось ${\displaystyle x}$, и она разделяет график в этой точке.

Нестационарные точки перегиба можно продемонстрировать графиком функции ${\displaystyle y=x^{3}}$, если его чуть повернуть относительно начала координат. Касательная в начале координат всё ещё делит график на две части, но градиент не равен нулю.

Функции с разрывами

Некоторые функции меняют выпуклость/вогнутость в некоторой точке, но не имеют в этой точке перегиба. Вместо этого они могут менять кривизну при переходе вертикальной асимптоты или в точке разрыва. Возьмём, например, функцию ${\displaystyle 2x^{2}/(x^{2}-1)}$. Она выпукла при ${\displaystyle |x|>1}$ и вогнута при ${\displaystyle |x|<1}$. Однако у этой функции нет точки перегиба, поскольку ${\displaystyle 1}$ и ${\displaystyle -1}$ не принадлежат области определения функции.

См. также

• Критическая точка
• Экологический порог^[англ.]
• Конфигурация Гессе образована девятью точками перегиба эллиптической кривой
• Стрельчатая S-образная арка^[англ.], архитектурная форма с точками перегиба
• Вершина кривой, локальный минимум или максимум кривизны

Примечания

1. Шикин, 1997, с. 39.
2. Bronshtein, Semendyayev, 2005, с. 231.
3. Фихтенгольц, 2001, с. 305.
4. Шикин, 1997, с. 27.
5. Фихтенгольц, 2001, с. 294—305.
6. Кудрявцев, 1981, с. 190—195.
7. Point of inflection  (неопр.). encyclopediaofmath.org. Дата обращения: 30 декабря 2016. Архивировано 29 апреля 2018 года.
8. Рашевский, 1950, с. 18—19.

Литература

• Е.В. Шикин, М.М. Франк-Каменецкий. Кривые на плоскости и в пространстве (справочник). — Москва: «ФАЗИС», 1997. — ISBN 5-7036-0027-8, ББК 22.15.
• I.N. Bronshtein, K.A. Semendyayev, G. Musiol, H. Muehlig. Handbook of Mathematics. — 5. — Berlin, Heidelberg, New York: Springer, 2005. — ISBN 978-3-540-72121-5.
• Л. Д. Кудрявцев. Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одного переменного // Математический анализ. — Москва: «Высшая школа», 1981. — Т. 1. — С. 190—195.
• Г. М. Фихтенгольц. Гл. IV. Исследование функций с помощью производных // Курс дифференциального и интегрального исчисления. — 8-е. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. — Т. 1. — ISBN 5-9221-0156-0.
• П. К. Рашевский. Курс дифференциальной геометрии. — Москва, Ленинград: Государственное издательство техническо-теоретической литературы, 1950.
• Weisstein, Eric W. Inflection Point (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Point of inflection", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4

Ссылки

• Inflection Points of Fourth Degree Polynomials