Loading AI tools
сферический треугольник Из Википедии, свободной энциклопедии
Треугольник Шварца — сферический треугольник, который можно использовать для создания мозаики на сфере, возможно с наложением, путём отражений треугольника относительно сторон. Треугольники классифицированы в работе немецкого математика Карла Шварца 1873 года[1].
Треугольники Шварца можно определить в более общем виде как мозаики на сфере, евклидовой или гиперболической плоскости. Каждый треугольник Шварца на сфере определяет конечную группу, в то время как на евклидовой плоскости они определяют бесконечные группы.
Треугольник Шварца представляется тремя рациональными числами (p q r), каждое из которых задаёт угол в вершине. Значение n/d означает, что угол в вершине треугольника равен d/n развёрнутого угла. 2 означает прямоугольный треугольник. Если эти числа целые, треугольник называется треугольником Мёбиуса и он соответствует мозаике без перекрытий, а группа симметрии называется группой треугольника. На сфере имеется 3 треугольника Мёбиуса и ещё одно однопараметрическое семейство. На плоскости имеется три треугольника Мёбиуса, а в гиперболическом пространстве имеется семейство треугольников Мёбиуса с тремя параметрами и нет исключительных объектов[англ.].
Фундаментальная область в виде треугольника (p q r) может существовать в различных пространствах в зависимости от суммы обратных величин этих целых:
Проще говоря, сумма углов треугольника в евклидовой плоскости равна π, в то время как на сфере сумма углов больше π, а на гиперболической плоскости сумма меньше π.
Треугольник Шварца представляется графически как треугольный граф. Каждая вершина соответствует стороне (зеркалу) треугольника Шварца. Каждое ребро помечено рациональным значением, соответствующим порядку отражения, которое равно π/внешний угол.
![]() Schwarz triangle (p q r) on sphere |
![]() Schwarz triangle graph |
Рёбра с порядком 2 представляют перпендикулярные зеркала, которые в этой диаграмме можно опускать. Диаграмма Коксетера — Дынкина представляет эти треугольные графы без рёбер порядка 2.
Можно использовать группу Коксетера для более простой записи, как (p q r) для циклических графов, (p q 2) = [p,q] для прямоугольных треугольников) и (p 2 2) = [p]×[].
Треугольники Шварца с целыми числами, также называемые треугольниками Мёбиуса, включают однопараметрическое семейство и три исключительных[англ.] случая:
Треугольники Шварца (p q r), сгруппированные по плотности[англ.]:
Плотность | треугольник Шварца |
---|---|
1 | (2 3 3), (2 3 4), (2 3 5), (2 2 n) |
d | (2 2 n/d) |
2 | (3/2 3 3), (3/2 4 4), (3/2 5 5), (5/2 3 3) |
3 | (2 3/2 3), (2 5/2 5) |
4 | (3 4/3 4), (3 5/3 5) |
5 | (2 3/2 3/2), (2 3/2 4) |
6 | (3/2 3/2 3/2), (5/2 5/2 5/2), (3/2 3 5), (5/4 5 5) |
7 | (2 3 4/3), (2 3 5/2) |
8 | (3/2 5/2 5) |
9 | (2 5/3 5) |
10 | (3 5/3 5/2), (3 5/4 5) |
11 | (2 3/2 4/3), (2 3/2 5) |
13 | (2 3 5/3) |
14 | (3/2 4/3 4/3), (3/2 5/2 5/2), (3 3 5/4) |
16 | (3 5/4 5/2) |
17 | (2 3/2 5/2) |
18 | (3/2 3 5/3), (5/3 5/3 5/2) |
19 | (2 3 5/4) |
21 | (2 5/4 5/2) |
22 | (3/2 3/2 5/2) |
23 | (2 3/2 5/3) |
26 | (3/2 5/3 5/3) |
27 | (2 5/4 5/3) |
29 | (2 3/2 5/4) |
32 | (3/2 5/45/3) |
34 | (3/2 3/2 5/4) |
38 | (3/2 5/4 5/4) |
42 | (5/4 5/4 5/4) |
![]() (3 3 3) |
![]() (4 4 2) |
![]() (6 3 2) |
Плотность 1:
Плотность 2:
Плотность ∞:
![]() (7 3 2) |
![]() (8 3 2) |
![]() (5 4 2) |
![]() (4 3 3) |
![]() (4 4 3) |
![]() (∞ ∞ ∞) |
Фундаментальные области треугольников (p q r) |
Плотность 1:
Плотность 2:
Плотность 3:
Плотность 4:
Плотность 6:
Плотность 10:
Треугольник Шварца (2 3 7) является наименьшим гиперболическим треугольником Шварца и представляет особый интерес. Его группа треугольника (или, более точно, группа фон Дика сохраняющих ориентацию изометрий с индексом 2) является группой треугольников (2,3,7)[англ.], которая является универсальной группой для всех групп Гурвица[англ.] — максимальных групп изометрий римановых поверхностей. Все группы Гурвица являются факторгруппами группы треугольников (2,3,7) и все поверхности Гурвица покрываются мозаиками из треугольников Шварца (2,3,7). Наименьшая группа Гурвица — это простая группа порядка 168, вторая наименьшая неабелева простая группа, которая изоморфна PSL(2,7) и ассоциирована с поверхностью Гурвица рода 3, — это квартика Клейна[англ.].
Треугольник (2 3 8) замощает поверхность Больца, высокосимметричную (но не являющуюся поверхностью Гурвица) поверхность рода 2.
Треугольники с одним нецелым углом, перечисленные выше, впервые классифицированы Антони В. Кнаппом (англ. Anthony W. Knapp) в статье 1968 года[2]. Список треугольников с несколькими нецелыми углами даны в статье Клименко и Сакума 1998 года[3].
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.