Треугольник Шварца

Треугольник Шварца — сферический треугольник, который можно использовать для создания мозаики на сфере, возможно с наложением, путём отражений треугольника относительно сторон. Треугольники классифицированы в работе немецкого математика Карла Шварца 1873 года^[1].

Треугольники Шварца можно определить в более общем виде как мозаики на сфере, евклидовой или гиперболической плоскости. Каждый треугольник Шварца на сфере определяет конечную группу, в то время как на евклидовой плоскости они определяют бесконечные группы.

Треугольник Шварца представляется тремя рациональными числами (p q r), каждое из которых задаёт угол в вершине. Значение n/d означает, что угол в вершине треугольника равен d/n развёрнутого угла. 2 означает прямоугольный треугольник. Если эти числа целые, треугольник называется треугольником Мёбиуса и он соответствует мозаике без перекрытий, а группа симметрии называется группой треугольника. На сфере имеется 3 треугольника Мёбиуса и ещё одно однопараметрическое семейство. На плоскости имеется три треугольника Мёбиуса, а в гиперболическом пространстве имеется семейство треугольников Мёбиуса с тремя параметрами и нет исключительных объектов^[англ.].

Пространство решений

Фундаментальная область в виде треугольника (p q r) может существовать в различных пространствах в зависимости от суммы обратных величин этих целых:

${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}+{\frac {1}{r}}>1}$ Сфера

${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}+{\frac {1}{r}}=1}$ Евклидова плоскость

${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}+{\frac {1}{r}}<1}$ Гиперболическая плоскость

Проще говоря, сумма углов треугольника в евклидовой плоскости равна π, в то время как на сфере сумма углов больше π, а на гиперболической плоскости сумма меньше π.

Графическое представление

Треугольник Шварца представляется графически как треугольный граф. Каждая вершина соответствует стороне (зеркалу) треугольника Шварца. Каждое ребро помечено рациональным значением, соответствующим порядку отражения, которое равно π/внешний угол.

Schwarz triangle (p q r) on sphere

Schwarz triangle graph

Рёбра с порядком 2 представляют перпендикулярные зеркала, которые в этой диаграмме можно опускать. Диаграмма Коксетера — Дынкина представляет эти треугольные графы без рёбер порядка 2.

Можно использовать группу Коксетера для более простой записи, как (p q r) для циклических графов, (p q 2) = [p,q] для прямоугольных треугольников) и (p 2 2) = [p]×[].

Список треугольников Шварца

Треугольники Мёбиуса на сфере

(2 2 2) или [2,2]	(3 2 2) или [3,2]	...
(3 3 2) или [3,3]	(4 3 2) или [4,3]	(5 3 2) или [5,3]

Треугольники Шварца с целыми числами, также называемые треугольниками Мёбиуса, включают однопараметрическое семейство и три исключительных^[англ.] случая:

1. [p,2] или (p 2 2) – диэдральная симметрия,
2. [3,3] или (3 3 2) – Тетраэдральная симметрия,
3. [4,3] или (4 3 2) – Октаэдральная симметрия^[англ.],
4. [5,3] или (5 3 2) – Икосаэдральная симметрия,

Треугольники Шварца на сфере, сгруппированные по плотности

Треугольники Шварца (p q r), сгруппированные по плотности^[англ.]:

Плотность	треугольник Шварца
1	(2 3 3), (2 3 4), (2 3 5), (2 2 n)
d	(2 2 n/d)
2	(3/2 3 3), (3/2 4 4), (3/2 5 5), (5/2 3 3)
3	(2 3/2 3), (2 5/2 5)
4	(3 4/3 4), (3 5/3 5)
5	(2 3/2 3/2), (2 3/2 4)
6	(3/2 3/2 3/2), (5/2 5/2 5/2), (3/2 3 5), (5/4 5 5)
7	(2 3 4/3), (2 3 5/2)
8	(3/2 5/2 5)
9	(2 5/3 5)
10	(3 5/3 5/2), (3 5/4 5)
11	(2 3/2 4/3), (2 3/2 5)
13	(2 3 5/3)
14	(3/2 4/3 4/3), (3/2 5/2 5/2), (3 3 5/4)
16	(3 5/4 5/2)
17	(2 3/2 5/2)
18	(3/2 3 5/3), (5/3 5/3 5/2)
19	(2 3 5/4)
21	(2 5/4 5/2)
22	(3/2 3/2 5/2)
23	(2 3/2 5/3)
26	(3/2 5/3 5/3)
27	(2 5/4 5/3)
29	(2 3/2 5/4)
32	(3/2 5/45/3)
34	(3/2 3/2 5/4)
38	(3/2 5/4 5/4)
42	(5/4 5/4 5/4)

Треугольники на евклидовой плоскости

(3 3 3)

(4 4 2)

(6 3 2)

Плотность 1:

1. (3 3 3) – 60-60-60 (равносторонний)
2. (4 4 2) – 45-45-90^[англ.] (равнобедренный прямоугольный)
3. (6 3 2) – 30-60-90^[англ.]
4. (2 2 ∞) - 90-90-0 "треугольник"

Плотность 2:

1. (6 6 3/2) - 120-30-30 треугольник

Плотность ∞:

1. (4 4/3 ∞)
2. (3 3/2 ∞)
3. (6 6/5 ∞)

Треугольники на гиперболической плоскости

(7 3 2)	(8 3 2)	(5 4 2)
(4 3 3)	(4 4 3)	(∞ ∞ ∞)
Фундаментальные области треугольников (p q r)

Плотность 1:

• (2 3 7), (2 3 8), (2 3 9) ... (2 3 ∞)
• (2 4 5), (2 4 6), (2 4 7) ... (2 4 ∞)
• (2 5 5), (2 5 6), (2 5 7) ... (2 5 ∞)
• (2 6 6), (2 6 7), (2 6 8) ... (2 6 ∞)
• (3 3 4), (3 3 5), (3 3 6) ... (3 3 ∞)
• (3 4 4), (3 4 5), (3 4 6) ... (3 4 ∞)
• (3 5 5), (3 5 6), (3 5 7) ... (3 5 ∞)
• (3 6 6), (3 6 7), (3 6 8) ... (3 6 ∞)
• ...
• (∞ ∞ ∞)

Плотность 2:

• (3/2 7 7), (3/2 8 8), (3/2 9 9) ... (3/2 ∞ ∞)
• (5/2 4 4), (5/2 5 5), (5/2 6 6) ... (5/2 ∞ ∞)
• (7/2 3 3), (7/2 4 4), (7/2 5 5) ... (7/2 ∞ ∞)
• (9/2 3 3), (9/2 4 4), (9/2 5 5) ... (9/2 ∞ ∞)
• ...

Плотность 3:

• (2 7/2 7), (2 9/2 9), (2 11/2 11) ...

Плотность 4:

• (7/3 3 7), (8/3 3 8), (3 10/3 10), (3 11/3 11) ...

Плотность 6:

• (7/4 7 7), (9/4 9 9), (11/4 11 11) ...

Плотность 10:

• (3 7/2 7)

Треугольник Шварца (2 3 7) является наименьшим гиперболическим треугольником Шварца и представляет особый интерес. Его группа треугольника (или, более точно, группа фон Дика сохраняющих ориентацию изометрий с индексом 2) является группой треугольников (2,3,7)^[англ.], которая является универсальной группой для всех групп Гурвица^[англ.] — максимальных групп изометрий римановых поверхностей. Все группы Гурвица являются факторгруппами группы треугольников (2,3,7) и все поверхности Гурвица покрываются мозаиками из треугольников Шварца (2,3,7). Наименьшая группа Гурвица — это простая группа порядка 168, вторая наименьшая неабелева простая группа, которая изоморфна PSL(2,7) и ассоциирована с поверхностью Гурвица рода 3, — это квартика Клейна^[англ.].

Треугольник (2 3 8) замощает поверхность Больца, высокосимметричную (но не являющуюся поверхностью Гурвица) поверхность рода 2.

Треугольники с одним нецелым углом, перечисленные выше, впервые классифицированы Антони В. Кнаппом (англ. Anthony W. Knapp) в статье 1968 года^[2]. Список треугольников с несколькими нецелыми углами даны в статье Клименко и Сакума 1998 года^[3].

См. также

• Список однородных многогранников по порождающим треугольникам Шварца
• Символ Витхоффа^[англ.]
• Построение Витхоффа
• Однородный многогранник
• Невыпуклый однородный многогранник^[англ.]
• Плотность политопа^[англ.]
• Тетраэдр Гурса
• Правильные однородные мозаики^[англ.]
• Однородные мозаики на гиперболической плоскости

Примечания

1. Schwarz, 1873.
2. Knapp, 1968, с. 289—304.
3. Klimenko, Sakuma, 1998, с. 247—282.

Литература

• Coxeter H. C. M. . Table 3: Schwarz’s Triangles // Regular Polytopes (book)^[англ.]. — Third edition. — Dover Edition, 1973. — ISBN 0-486-61480-8.
• Klimenko E., Sakuma M.  Two-generator discrete subgroups of Isom(H²) containing orientation-reversing elements // Geometriae Dedicata. — 1998. — Vol. 72, no. 3. — doi:10.1023/A:1005032526329.
• Knapp A. W.  Doubly generated Fuchsian groups // Michigan Mathematics Journal. — 1968. — Vol. 15, no. 3.
• Schwarz H. A.  Über diejenigen Fälle in welchen die Gaussichen hypergeometrische Reihe eine algebraische Function ihres vierten Elementes darstellt // Journal für die reine und angewandte Mathematik. — 1873. — Bd. 75. — S. 292—335. — ISSN 0075-4102. — doi:10.1515/crll.1873.75.292.  Заметим, что Коксетер ссылается на эту статью как «Zur Theorie der hypergeometrischen Reihe», что является укороченным заголовком, использованным как заголовки страниц.
• Wenninger, Magnus J. . An introduction to the notion of polyhedral density // Spherical models. — CUP Archive, 1979. — P. 132—134. — ISBN 978-0-521-22279-2.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Schwarz triangle (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• KlitzingPolytopes The general Schwarz triangle (p q r) and the generalized incidence matrices of the corresponding polyhedra