Loading AI tools
Из Википедии, свободной энциклопедии
Тео́рия Галуа́ — раздел алгебры, позволяющий переформулировать определённые вопросы теории полей на языке теории групп, делая их в некотором смысле более простыми.
Эварист Галуа сформулировал основные утверждения этой теории в терминах перестановок корней заданного многочлена (с рациональными коэффициентами); он был первым, кто использовал термин «группа» для описания множества перестановок, замкнутого относительно композиции и содержащего тождественную перестановку.
Более современный подход к теории Галуа заключается в изучении автоморфизмов расширения произвольного поля при помощи группы Галуа, соответствующей данному расширению.
Теория Галуа даёт единый элегантный подход к решению таких классических задач как
Симметрии корней — такие перестановки на множестве корней многочлена, для которых любому алгебраическому уравнению с рациональными коэффициентами (с несколькими переменными), которому удовлетворяют корни, удовлетворяют и переставленные корни.
У многочлена второй степени имеются два корня и , симметричных относительно точки . Возможны два варианта:
Рассмотрим теперь многочлен .
Его корни: .
Существует различных перестановки корней этого уравнения, но не все они являются симметриями. Элементы группы Галуа должны сохранять любые алгебраические уравнения с рациональными коэффициентами.
Одно из таких уравнений — . Поскольку , перестановка не входит в группу Галуа.
Кроме того, можно заметить, что , но . Поэтому перестановка не входит в группу.
Окончательно можно получить, что группа Галуа многочлена состоит из четырёх перестановок:
и является четверной группой Клейна, изоморфной .
Теория полей даёт более общее определение группы Галуа как группы автоморфизмов произвольного расширения Галуа.
На этом языке можно сформулировать все утверждения, касающиеся «симметрий» корней многочлена. А именно, пусть коэффициенты данного многочлена принадлежат полю K. Рассмотрим алгебраическое расширение L поля K корнями многочлена. Тогда группа Галуа многочлена — это группа автоморфизмов поля L, оставляющих элементы поля K на месте, то есть группа Галуа расширения . Например, в предыдущем примере была рассмотрена группа Галуа расширения .
Решения полиномиального уравнения выражаются в радикалах тогда и только тогда, когда группа Галуа данного уравнения в общем виде разрешима.
Для любого существует уравнение -й степени, группа Галуа которого изоморфна симметрической группе , то есть состоит из всех возможных перестановок. Поскольку группы при не являются разрешимыми, существуют многочлены степени , корни которых не представимы при помощи радикалов, что является утверждением теоремы Абеля — Руффини.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.