Loading AI tools
Теорема Из Википедии, свободной энциклопедии
Теорема Абеля, иногда назваемая теоремой Абеля — Руффини, утверждает, что общее алгебраическое уравнение степени неразрешимо в радикалах[1].
Теория Галуа описывает группу перестановок корней многочленов. Современное доказательство теоремы основано на двух следующих фактах:
Легко видеть, что значительная часть доказательства «спрятана» в теорию Галуа.
Теорема Абеля — Руффини не заявляет о том, что общее уравнение -й степени при не имеет решения. Если допускать комплексные решения, то основная теорема алгебры гарантирует наличие решений. Суть теоремы Абеля — Руффини сводится к тому, что для произвольных уравнений степени больше четвёртой невозможно указать явную формулу для решений, то есть формулу, определяющую все возможные решения и содержащую только арифметические операции и корни произвольной степени.
Решения таких уравнений можно получить с любой желаемой точностью, используя численные методы, например метод Ньютона.
Кроме того, корни некоторых уравнений высших степеней можно выразить в радикалах. Например, уравнение имеет корень .
Хотя уравнение пятой степени неразрешимо в радикалах, для его корней существуют формулы с использованием тета-функций.
Для уравнений со степенью меньше, чем пятая, можно указать явную формулу решения. Этот факт можно рассматривать как «вторую часть» или как «обратную» теорему Абеля — Руффини. Хотя это утверждение не следует из теоремы Абеля — Руффини, оно верно: см. формулы Кардано (для уравнений третьей степени) и Феррари (для четвёртой)[4].
Первое доказательство теоремы было опубликовано в 1799 году Руффини. В доказательстве было несколько неточностей. В 1824 году полное доказательство было опубликовано Абелем.
Их доказательства основывались на идеях Лагранжа, связанных с перестановками корней уравнения. Позже эти идеи были развиты в теории Галуа, которая позволила сформулировать современное изложение доказательств и послужила отправной точкой в развитии абстрактной алгебры.
Хотя теорема утверждает, что уравнения не имеют общей формулы для решения, некоторые типы уравнений высоких степеней допускают точные решения. Среди них:
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.