множество, не имеющее элементов Из Википедии, свободной энциклопедии
Пусто́е мно́жество (в математике) — множество, не содержащее ни одного элемента. Из аксиомы объёмности следует, что есть только одно множество, обладающее таким свойством. Пустое множество является своим (тривиальным) подмножеством, но не является своим элементом.
Обозначение пустого множества
Пустое множество является конечным множеством и имеет наименьшую мощность среди всех множеств. Пустое множество — единственное множество, для которого класс множеств, равномощных ему, состоит из единственного элемента (самого́ пустого множества). Также, пустое множество — единственное множество, имеющее ровно 1 подмножество (само себя), и единственное множество, равномощное любому своему подмножеству.
-цепочка, начинающаяся с произвольного множества, каждый последующий член которой является элементом предыдущего, всегда через конечное число шагов завершается пустым множеством (см. аксиому регулярности). Таким образом, пустое множество является «строительным кирпичиком», из которого строятся все остальные множества.
Символ «пустое множество» представлен в Юникоде (U+2205∅empty set)[4] и, хотя он отсутствует в стандартных раскладках клавиатуры, может быть введён с клавиатуры:
в системах, использующих X Window System (Unix/Linux/ChromeOS и др.), с помощью комбинации Ctrl+⇧ Shift+u2205Пробел или с использованием клавиши Compose, нажав поочерёдно Compose{}[5].
В текстах на таких языках, как датский или норвежский, где символ пустого множества может быть спутан с буквой алфавита Ø (при использовании в лингвистике), вместо него может быть использован символ Юникода U+29B0⦰reversed empty set (HTML⦰)[6].
Ни одно множество не является элементом пустого множества. Иначе говоря, и, в частности, .
Пустое множество является подмножеством любого множества. Иначе говоря, и, в частности, .
Объединение пустого множества с любым множеством равно последнему [указанному множеству]. Иначе говоря, и, в частности, .
Пересечение пустого множества с любым множеством равно пустому множеству. Иначе говоря, и, в частности, .
Пересечение любого множества с его дополнением равно пустому множеству. Иначе говоря, .
Исключение пустого множества из любого множества равно последнему [указанному множеству]. Иначе говоря, и, в частности, .
Исключение любого множества из пустого множества равно пустому множеству. Иначе говоря, и, в частности, .
Симметрическая разность пустого множества с любым множеством равна последнему [указанному множеству]. Иначе говоря, и, в частности,
Декартово произведение пустого множества на любое множество равно пустому множеству. Иначе говоря, и, в частности, .
Пустое множество — транзитивно. Иначе говоря, , где .
Пустое множество — не рефлективно, симметрично, антисимметрично.
Если — как это и предполагается в нашей системе — члены любого множества также суть множества (в том числе пустое множество), а не индивиды, то само собой разумеется, что единственным первичным конституентом…любого множества оказывается пустое множество.
Monniaux, DavidUTF-8 (Unicode) compose sequence(англ.).— Файл конфигурации вводимых с помощью клавиши Compose символов.Дата обращения: 25 июня 2020.Архивировано 3 августа 2020 года.
Например, Grønnum, Nina.Fonetik og Fonologi: Almen og dansk: [датск.].— Copenhagen: Akademisk forlag, 2013.— ISBN 978-87-500-4045-3, 87-500-4045-6.
Столл Р.Множества, логика, аксиоматические теории.— М.: Мир, 1968.— 231с.
Нефедов В.Н., Осипова В.А.Курс дискретной математики.— М.: МАИ, 1992.— 264с.— ISBN 5-7035-0157-X.
Halmos, Paul, Naive Set Theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition). Reprinted by Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (paperback edition).
Jech, Thomas (2002), Set Theory, Springer Monographs in Mathematics (3rd millenniumed.), Springer, ISBN3-540-44085-2