Дисперсия волн

Диспе́рсия волн — в теории волн различие фазовых скоростей линейных волн в зависимости от их частоты. Дисперсия волн приводит к тому, что волновое возмущение произвольной негармонической формы претерпевает изменения (диспергирует) по мере его распространения.

Иногда под дисперсией волны понимают процесс разложения широкополосного сигнала в спектр, например, при помощи дифракционных решёток.

История

Термин дисперсия (лат. dispergo «рассеивать, развеивать, разгонять») был впервые использован в физике Исааком Ньютоном в 1672 году по отношению к дисперсии света. Ньютон наблюдал эффект разложения белого света в спектр при его преломлении на границе двух сред. Развитая позднее волновая теория света объяснила этот эффект тем, что волны разной длины (частоты) имеют разные скорости в среде, а потому преломляются под разными углами. Впоследствии было показано, что тем же объясняется расплывание импульсов, различие фазовой и групповой скорости, неравномерное движение волновых фронтов и т. д.

Математическое описание

Как известно, в общем случае любая волна может быть математически разложена в Фурье-спектр, то есть представлена в виде суммы гармонических (монохроматических) волн вида

${\displaystyle A\exp(i\omega t-i{\vec {k}}{\vec {r}})}$

где ${\displaystyle A}$ — комплексная амплитуда соответствующей гармоники, ${\displaystyle \omega }$ — частота гармоники, ${\displaystyle {\vec {k}}}$ — волновой вектор, ${\displaystyle t}$ — время, ${\displaystyle {\vec {r}}}$ — радиус-вектор данной точки.

Для описания дисперсии вводят так называемое дисперсионное уравнение, являющееся зависимостью частоты волны от её волнового вектора:

${\displaystyle \omega =\omega ({\vec {k}}).}$

В изотропных средах модуль волнового вектора (называемый волновым числом ${\displaystyle k=|{\vec {k}}|}$) не зависит от направления распространения волны и дисперсионное уравнение выражает зависимость частоты от волнового числа ${\displaystyle \omega =\omega (k).}$

Зная дисперсионное уравнение, можно найти зависимость фазовой ${\displaystyle v_{p}}$ и групповой ${\displaystyle v_{g}}$ скоростей от частоты и длины волны. По определению:

${\displaystyle v_{p}={\frac {\omega }{k}},}$

${\displaystyle v_{g}={\frac {d\omega }{dk}}.}$

В классической оптике дисперсия называется нормальной, если фазовая скорость уменьшается с ростом частоты, и аномальной в обратном случае.

Физика явления

Дисперсия волн обычно связана или с наличием временного запаздывания в реакции среды на волновое возмущение (временна́я дисперсия), или с влиянием на данную точку пространства соседних точек (пространственная дисперсия). В ряде случаев, однако, невозможно провести однозначное разделение на пространственную и временную дисперсии. Конкретный физический механизм, приводящий к появлению дисперсии, зависит от конкретной ситуации.

Примеры

Примером диспергирующих волн могут служить волны на поверхности жидкости. Для достаточно длинных волн, называемых гравитационными, дисперсионное уравнение имеет вид ${\displaystyle \omega ^{2}=gk}$, где ${\displaystyle g}$ — ускорение свободного падения. Для коротких волн, называемых капиллярными, дисперсионное соотношение имеет другой вид: ${\displaystyle \omega ^{2}=k^{3}\sigma /\rho }$, где ${\displaystyle \sigma }$ — коэффициент поверхностного натяжения, ${\displaystyle \rho }$ — плотность жидкости.

Модели дисперсии

Модель Друде:

ε(ω)= ε_h+a₁/(b₁·ω²+i·c₁·ω)+…+a_n/(b_n·ω²+i·c_n·ω);

Модель Дебая:

ε(ω)= ε_h+a₁/(b₁+i·c₁·ω)+…+a_n/(b_n+i·c_n·ω);

Модель Лоренца:

ε(ω)= ε_h+a₁/(b₁+i·c₁·ω+в₁·ω²)+…+a_n/(b_n+i·c_n·ω+в_n·ω²),

где ε(ω) — диэлектрическая проницаемость материала, Ф/м; ε_h — диэлектрическая проницаемость материала на высоких частотах; a_i, b_i, c_i и d_i, i = 1,…,n — коэффициенты модели, зависящие от резонансных частот (длин волн) и величин резонанса.

См. также

• Дисперсия света
  • Аномальная дисперсия
  • Атмосферная дисперсия
• Закон дисперсии (дисперсионное уравнение)
• Показатель преломления
• Мера дисперсии
• Дисперсионные соотношения

Литература

• M. А. Миллер, Г. В. Пермитин. Физическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — Т. 1: Ааронова — Бома эффект — Длинные линии. — 707 с. — 100 000 экз.