Loading AI tools
Из Википедии, свободной энциклопедии
Гипотеза Морделла — гипотеза о конечности множества рациональных точек на алгебраической кривой рода , выдвинутая Луисом Морделлом в 1922 году. Позже гипотеза была обобщена с поля рациональных чисел на произвольное числовое поле. Была доказана Гердом Фальтингсом в 1983 году и теперь также называется теоремой Фальтингса.
Пусть — неособая алгебраическая кривая над полем . Множество рациональных точек кривой зависит от её рода следующим образом:
В 1962 году Шафаревич высказал гипотезу о конечности, с точностью до изоморфизма, множества алгебраических кривых, имеющих заданный род , поле определения и множество точек плохой редукции . В 1968 году Паршин показал, как гипотезу Морделла можно свести к указанной гипотезе конечности Шафаревича.
В 1983 году Фальтингс доказал гипотезу конечности Шафаревича, используя известный способ сведения гипотезы к случаю гипотезы Тейта[англ.] и инструменты алгебраической геометрии, включая теорию моделей Нерона[англ.].
Другое доказательство, основанное на диофантовых аппроксимациях, было дано Паулем Войта[англ.]. Позднее оно было упрощено Фальтингсом и Энрико Бомбьери.
Фальтингс в своей работе 1983 года доказал несколько утверждений, ранее считавшихся гипотезами:
Простейшее приложение теоремы Фальтингса — это слабая форма Великой теоремы Ферма: для любого выбранного существует лишь конечное число взаимно простых решений уравнения , поскольку для таких n кривая Ферма имеет род, больший 1.
В силу теоремы Морделла — Вейля, теорема Фальтингса может быть переформулирована как утверждение о пересечении кривой с конечнопорождённой подгруппой абелева многообразия . Заменяя на произвольное подмногообразие и на произвольную подгруппу конечного ранга , мы получаем обобщение, ведущее к гипотезе Морделла — Ленга, которая была доказана.
Другое обобщение теоремы Фальтингса — это Гипотеза Бомбьерри — Ленга, утверждающая, что если — псевдоканоническое многообразие (то есть многообразие общего типа) над конечным полем , то множество -рациональных точек нигде не плотно в топологии Зарисского в . Дальнейшие обобщения гипотезы были выдвинуты Паулем Войта.
Гипотеза Морделла для полей функций была доказана Маниным в 1963 году и Грауэртом в 1965 году. Коулман[англ.] в 1990 году нашёл и исправил пробел в доказательстве Манина.
Для улучшения этой статьи по математике желательно:
|
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.