Rombicosaedru

În geometrie rombicosaedrul este un poliedru stelat uniform, cu indicele U₅₆. Are 50 de fețe (30 de pătrate și 20 de hexagoane), 120 de laturi și 60 de vârfuri.^[1] Având 50 de fețe, este un pentacontaedru.

Nu confundați cu icosaedru rombic.

Rombicosaedru
(model 3D)
Descriere
Tip	poliedru uniform neconvex
Fețe	50 (30 pătrate, 20 hexagoane)
Laturi (muchii)	120
Vârfuri	60
χ	−10
Configurația vârfului	4.6.4/3.6/5[1]
Simbol Wythoff	2 3 (5/4 5/2) |[1]
Diagramă Coxeter	(acoperire dublă pentagrame) (acoperire dublă pentagoane)
Grup de simetrie	Ih, [5,3], (*532) [1]
Volum	≈42,485 a3   (a = latura)
Poliedru dual	rombicosacron
Proprietăți	uniform, neconvex
Figura vârfului

Este reprezentat prin diagramele Coxeter–Dynkin (cu acoperire dublă a pentagramelor), respectiv (cu acoperire dublă a pentagoanelor). Figura vârfului este un patrulater autointersectat. Un poliedru neconvex are fețe care se intersectează care nu reprezintă muchii sau fețe noi. Doar cele marcate cu sfere aurii sunt vârfuri, iar cele cu linii argintii sunt laturi.

Are simbolul Wythoff 2 3 (5/4 5/2) |.^[1]

Mărimi asociate

Coordonate carteziene

Coordonatele carteziene ale vârfurilor unui rombicosaedru centrat în origine, cu lungimea laturii de 2, sunt toate permutările pare ale:^[2][3]

${\displaystyle \left(\,\pm \varphi ^{-2},\,0,\,\pm \varphi ^{2}\,\right)}$

${\displaystyle \left(\,\pm 1,\,\pm 1,\,\pm {\sqrt {5}}\,\right)}$

${\displaystyle \left(\,\pm 2,\,\pm \varphi ^{-1},\,\pm \varphi \,\right)}$

unde ${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ este secțiunea de aur.

Raza sferei circumscrise

Raza sferei circumscrise este distanța comună a vârfurilor față de origine, și anume ${\displaystyle {\sqrt {7}}}$ pentru lungimea laturii egală cu 2. Pentru lungimea laturii a, această valoare devine:^[4]

${\displaystyle R={\frac {\sqrt {7}}{2}}\,a\approx 1,322876\,a.}$

Volum

Următoarea formulă pentru volum V este stabilită pentru lungimea laturilor tuturor poligoanelor (care sunt regulate) a:

${\displaystyle V=19{\sqrt {5}}\,a^{3}\approx 42,485292\,a^{3}}$

Poliedre înrudite

Are în comun aranjamentul vârfurilor cu micul dodecaedru trunchiat stelat, compusul de zece prisme triunghiulare și compusul de douăzeci de prisme triunghiulare. În plus, are în comun aranjamentul laturilor cu rombidodecadodecaedrul (având fețele pătrate în comun) și cu icosidodecadodecaedrul (având fețele hexagonale în comun).

Anvelopa convexă	Rombidodecadodecaedru	Icosidodecadodecaedru
Rombicosaedru	Compus de zece prisme triunghiulare	Compus de douăzeci de prisme triunghiulare

Dual: rombicosacron

Poliedru dual

Dualul său este rombicosacronul.^[5]

Note

1. en Maeder, Roman. „56: rhombicosahedron”. MathConsult. Accesat în 1 octombrie 2023.
2. en Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes (third edition), Dover Publications Inc, 1973 ISBN: 0-486-61480-8, p. 52, §3.7 Coordinates for the vertices of the regular and quasi-regular solids
3. en Eric W. Weisstein, Icosahedral group la MathWorld.
4. en Eric W. Weisstein, Rhombicosahedron la MathWorld.
5. en Wenninger, Magnus (1983), Dual Models, Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9780511569371, ISBN 978-0-521-54325-5, MR 0730208

Vezi și

• Lista poliedrelor uniforme

Legături externe

• en Uniform polyhedra and duals

	Portal Matematică

• en Klitzing, Richard. „3D uniform polyhedra”. Cheie: ri