Număr octogonal

Un număr octogonal este un număr figurativ care extinde conceptele de număr triunghiular și număr pătrat la un octogon (poligon cu opt laturi).^[2][3] Spre deosebire de numerele triunghiulare și pătrate, modelele implicate în construcția numerelor octogonale nu sunt simetrice rotațional. Mai exact, al n-lea număr octogonal este numărul de puncte dintr-un model de n octogoane imbricate, toate având un vârf (colț) comun, unde al i-lea octogon al modelului are laturile formate din punctele i distanțate la o unitate unul de celălalt. Numărul octogonal N_n este dat de următoarea formulă:^[1]

${\displaystyle N_{n}=n^{2}+4\sum _{k=1}^{n-1}k=3n^{2}-2n=n(3n-2)}$

Număr octogonal

Reprezentare a numerelor octogonale
Nr. total de termeni	infinit
Subșir al	număr poligonal
Formula	${\displaystyle N_{n}=n(3n-2)}$[1]
Primii termeni	0, 1, 8, 21, 40, 65, 96, 133. [1]
Index OEIS	A000567 octagonal

Numerele octogonale pot fi formate prin plasarea numerelor triunghiulare pe cele patru laturi ale unui pătrat. Al n-lea număr octogonal poate fi, de asemenea, calculat prin adăugarea pătratului lui n la de două ori al (n–1)-lea număr pronic.

Primii termeni ai șirului de numere octogonale sunt:

0, 1, 8, 21, 40, 65, 96, 133, 176, 225, 280, 341, 408, 481, 560, 645, 736, 833, 936, 1045, 1160, 1281, 1408, 1541, 1680, 1825, 1976, 2133, 2296, 2465, 2640, 2821, 3008, 3201, 3400, 3605, 3816, 4033, 4256, 4485, 4720, 4961, 5208, 5461.^[1]

Uneori numerele octogonale sunt denumite număr stea, deși acel termen este mai frecvent utilizat pentru a se referi la numerele centrate dodecagonale.^[3]

Proprietăți

Paritatea numerelor octogonale alternează consistent.

Suma inverselor

O formulă pentru suma inverselor numerelor octogonale este:^[4]

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(3n-2)}}={\frac {9\ln(3)+{\sqrt {3}}\pi }{12}}}$

Note

1. Șirul A000567 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)
2. Marius Coman, Enciclopedia matematică a claselor de numere întregi, Columbus, Ohio: Education Publishing, 2013, ISBN: 978-1-59973-237-4, p. 64
3. en Deza, Elena; Deza, Michel (2012), Figurate Numbers, World Scientific, p. 57, ISBN 9789814355483.
4. en Beyond the Basel Problem: Sums of Reciprocals of Figurate Numbers Arhivat în 29 mai 2013, la Wayback Machine.

Vezi și

• Număr centrat octogonal