Număr perfect

Numărul perfect este un număr întreg egal cu suma divizorilor săi, din care se exclude numărul însuși. Astfel, dacă ${\displaystyle n}$ este numărul întreg, avem definițiile:

Euclid, precusor al teoriei numerelor.

${\displaystyle \sigma (n)\;={\begin{cases}\leq 2n,\;numar\;deficient\\=2n\;,numar\;perfect\\\geq 2n\;,numar\ abundent\end{cases}}}$

Aici apare ${\displaystyle \mathbf {2} n}$ pentru că printre divizorii care alcătuiesc suma ${\displaystyle \mathbf {\sigma } (n)}$ s-a considerat și numărul însuși.

Exemple date

Diagrama Euler a numerelor abundente, abundente primitive, extrem abundente, superabundente, colosal abundente, extrem compuse, extrem compuse superioare, ciudate și perfecte mai mici decât 100 în raport cu numerele deficiente și compuse.

6=1+2+3

28=1+2+4+7+14

496=1+2+4+8+16+31+62+124+248

8.128=1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1016+2032+4064

Primele zece numere perfecte sunt: 6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056, 137438691328, 2305843008139952128, 2658455991569831744654692615953842176, 191561942608236107294793378084303638130997321548169216.^[1]

Calculul numerelor perfecte

Euclid a observat că primele patru numere perfecte (menționate mai sus) sunt date de formula:

${\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}-1)}$ ,

unde ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ia valorile 2, 3, 5, 7.

Mai mult, Euclid observă că pentru ca

${\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}-1)}$

să fie număr perfect trebuie ca

${\displaystyle 2^{n}-1}$

să fie număr prim (acestea sunt de fapt cunoscute ca numerele prime ale lui Mersenne).

Euler a demonstrat că în acest mod pot fi obținute toate numerele perfecte pare.

Numere perfecte impare

Existența numerelor perfecte impare constituie una din problemele nerezolvate ale matematicii.

Dacă acestea există, ar trebui să fie foarte mari:

Un astfel de număr ar trebui să satisfacă condițiile^[2]:

• n>10³⁰⁰
• n este de forma

${\displaystyle n\;=\;q^{\alpha }{p_{1}}^{2e_{1}}{p_{2}}^{2e_{2}}\;\cdots \;{p_{k}}^{2e_{k}}}$ .

Note

1. Șirul A000396 la Enciclopedia electronică a șirurilor de numere întregi (OEIS)
2. „Articolul lui Carl Pomerance la OddPerfect.org”. Arhivat din original la 29 decembrie 2006. Accesat în 27 ianuarie 2008.

Bibliografie

• Bobancu, V. - Dicționar de matematici generale, Editura Enciclopedică Română, București, 1974
• Rogai, E - Tabele și formule matematice, Editura Tehnică, București, 1984

Vezi și

• Număr abundent
• Număr deficient
• Divizor
• Indicatorul lui Euler
• Listă de numere#Numere perfecte

Legături externe

• David Moews: Perfect, amicable and sociable numbers
• Perfect numbers - History and Theory