Geometria numerelor

Geometria numerelor este partea teoriei numerelor care folosește geometria pentru studiul numerelor algebrice. De obicei un inel de întregi algebrici este privit ca o rețea în ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ iar studiul acestor rețele oferă informații fundamentale despre numerele algebrice.^[1] Geometria numerelor a fost inițiată de Hermann Minkowski (1910).

Cele mai bune aproximări ale lui π (cerc verde), e (romb albastru), ϕ (dreptunghi roz), (√3)/2 (hexagon gri), 1/√2 (octogon roșu) și 1/√3 (triunghi portocaliu) calculate din dezvoltările în fracții continue, trasate ca pante y/x cu erori din valorile lor exacte (liniuțe negre).

Geometria numerelor are o relație strânsă cu alte domenii ale matematicii, în special cu analiza funcțională și aproximarea diofantică (problema găsirii numerelor raționale care aproximează un număr irațional).

Rezultatele lui Minkowski

Presupunem că ${\displaystyle \Gamma }$ este o rețea în spațiul euclidian ${\displaystyle n}$-dimensional ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ și ${\displaystyle K}$ este o mulțime convexă central simetrică. Teorema lui Minkowski, numită uneori prima teoremă a lui Minkowski, afirmă că dacă ${\displaystyle \operatorname {vol} (K)>2^{n}\operatorname {vol} (\mathbb {R} ^{n}/\Gamma )}$, atunci ${\displaystyle K}$ conține un vector nenul din ${\displaystyle \Gamma }$.

Minimul succesiv ${\displaystyle \lambda _{k}}$ este definit ca fiind infimumul numerelor ${\displaystyle \lambda }$ pentru care ${\displaystyle \lambda K}$ conține ${\displaystyle k}$ vectori liniar independenți din ${\displaystyle \Gamma }$. Teorema lui Minkowski asupra minimelor succesive, numită uneori a doua teoremă a lui Minkowski, este o întărire a primei sale teoreme și afirmă că^[2]

${\displaystyle \lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}\operatorname {vol} (K)\leq 2^{n}\operatorname {vol} (\mathbb {R} ^{n}/\Gamma ).}$

Cercetări ulterioare în geometria numerelor

În perioada 1930-1960 s-au efectuat cercetări în geometria numerelor de către mulți specialiști în teoria numerelor (incluzându-i pe Louis Mordell, Harold Davenport și Carl Ludwig Siegel). În ultimii ani, Lenstra, Brion și Barvinok au dezvoltat teorii combinatoriale care enumeră punctele laticiale din unele mulțimi convexe.^[3]

Teorema subspațiului a lui W. M. Schmidt

În geometria numerelor, teorema subspațiului a fost obținută de Wolfgang M. Schmidt în 1972.^[4] Aceasta afirmă că dacă n este un întreg pozitiv, L₁,...,L_n sunt forme liniare liniar independente în n variabile cu coeficienți algebrici și ε>0 este un număr real dat, atunci punctele nenule întregi x în n coordonate care satisfac

${\displaystyle |L_{1}(x)\cdots L_{n}(x)|<|x|^{-\varepsilon }}$

se află într-un număr finit de subspații proprii ale lui Qⁿ.

Influența asupra analizei funcționale

Geometria numerelor a lui Minkowski a influențat profund analiza funcțională. Minkowski a demonstrat că mulțimile convexe simetrice induc norme în spații vectoriale finit dimensionale. Teorema lui Minkowski a fost generalizată la spații vectoriale topologice de către Kolmogorov, a cărui teoremă afirmă că mulțimile convexe simetrice care sunt închise și mărginite generează topologia unui spațiu Banach.^[5]

Cercetătorii continuă să studieze generalizările la domeniile stelate și la alte mulțimi neconvexe.^[6]

Note

1. Clasificarea MSC, 2010, disponibilă la http://www.ams.org/msc/msc2010.html, Clasificarea 11HXX.
2. Cassels (1971) p. 203
3. Grötschel et al., Lovász et al., Lovász, și Beck și Robins.
4. Schmidt, Wolfgang M. Norm form equations. Ann. Math. (2) 96 (1972), pp. 526–551. Vedeți și cărțile lui Schmidt; comparați cu Bombieri și Vaaler și de asemenea cu Bombieri și Gubler.
5. Pentru teorema de normabilitate a lui Kolmogorov, vedeți Functional Analysis de Walter Rudin. Pentru mai multe rezultate, vedeți Schneider, și Thompson și vedeți Kalton et al.
6. Kalton et al. Gardner

Bibliografie

• Matthias Beck, Sinai Robins. Computing the continuous discretely: Integer-point enumeration in polyhedra, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, 2007.
• Enrico Bombieri; Vaaler, J. (1983). „On Siegel's lemma”. Inventiones Mathematicae. 73 (1): 11–32. Bibcode:1983InMat..73...11B. doi:10.1007/BF01393823.
• Enrico Bombieri; Walter Gubler (2006). Heights in Diophantine Geometry. Cambridge U. P.
• J. W. S. Cassels. An Introduction to the Geometry of Numbers. Springer Classics in Mathematics, Springer-Verlag 1997 (retipărire a edițiilor Springer-Verlag din 1959 și 1971).
• John Horton Conway și N. J. A. Sloane, Sphere Packings, Lattices and Groups, Springer-Verlag, NY, ed. a treia, 1998.
• R. J. Gardner, Geometric tomography, Cambridge University Press, New York, 1995. Ediția a doua: 2006.
• P. M. Gruber, Convex and discrete geometry, Springer-Verlag, New York, 2007.
• P. M. Gruber, J. M. Wills (editori), Handbook of convex geometry. Vol. A. B, North-Holland, Amsterdam, 1993.
• M. Grötschel, Lovász, L., A. Schrijver: Geometric Algorithms and Combinatorial Optimization, Springer, 1988
• Hancock, Harris (1939). Development of the Minkowski Geometry of Numbers. Macmillan. (Republicată în 1964 de Dover.)
• Edmund Hlawka, Johannes Schoißengeier, Rudolf Taschner. Geometric and Analytic Number Theory. Universitext. Springer-Verlag, 1991.
• Kalton, Nigel J.; Peck, N. Tenney; Roberts, James W. (1984), An F-space sampler, London Mathematical Society Lecture Note Series, 89, Cambridge: Cambridge University Press, pp. xii+240, ISBN 0-521-27585-7, MR 0808777
• C. G. Lekkerkererker. Geometry of Numbers. Wolters-Noordhoff, North Holland, Wiley. 1969.
• Lenstra, A. K.; Lenstra, H. W. Jr.; Lovász, L. (1982). „Factoring polynomials with rational coefficients” (PDF). Mathematische Annalen. 261 (4): 515–534. doi:10.1007/BF01457454.
• Lovász, L.: An Algorithmic Theory of Numbers, Graphs, and Convexity, CBMS-NSF Regional Conference Series in Applied Mathematics 50, SIAM, Philadelphia, Pennsylvania, 1986
• Malyshev, A.V. (2001), „Geometry of numbers”, În Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104
• Minkowski, Hermann (1910), Geometrie der Zahlen, Leipzig and Berlin: R. G. Teubner, JFM 41.0239.03, MR 0249269, accesat în 28 februarie 2016
• Wolfgang M. Schmidt. Diophantine approximation. Lecture Notes in Mathematics 785. Springer. (1980 [1996 with minor corrections])
• Schmidt, Wolfgang M. (1996). Diophantine approximations and Diophantine equations. Lecture Notes in Mathematics. 1467 (ed. 2nd). Springer-Verlag. ISBN 3-540-54058-X.
• Siegel, Carl Ludwig (1989). Lectures on the Geometry of Numbers. Springer-Verlag.
• Rolf Schneider, Convex bodies: the Brunn-Minkowski theory, Cambridge University Press, Cambridge, 1993.
• Anthony C. Thompson, Minkowski geometry, Cambridge University Press, Cambridge, 1996.
• Hermann Weyl. Theory of reduction for arithmetical equivalence. Trans. Amer. Math. Soc. 48 (1940) 126–164. doi:10.1090/S0002-9947-1940-0002345-2
• Hermann Weyl. Theory of reduction for arithmetical equivalence. II . Trans. Amer. Math. Soc. 51 (1942) 203–231. doi:10.2307/1989946