Geometria numerelor

Geometria numerelor este partea teoriei numerelor care folosește geometria pentru studiul numerelor algebrice. De obicei un inel de întregi algebrici este privit ca o rețea în ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ iar studiul acestor rețele oferă informații fundamentale despre numerele algebrice.^[1] Geometria numerelor a fost inițiată de Hermann Minkowski (1910).

Cele mai bune aproximări ale lui π (cerc verde), e (romb albastru), ϕ (dreptunghi roz), (√3)/2 (hexagon gri), 1/√2 (octogon roșu) și 1/√3 (triunghi portocaliu) calculate din dezvoltările în fracții continue, trasate ca pante y/x cu erori din valorile lor exacte (liniuțe negre).

Geometria numerelor are o relație strânsă cu alte domenii ale matematicii, în special cu analiza funcțională și aproximarea diofantică (problema găsirii numerelor raționale care aproximează un număr irațional).

Rezultatele lui Minkowski

Presupunem că ${\displaystyle \Gamma }$ este o rețea în spațiul euclidian ${\displaystyle n}$-dimensional ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ și ${\displaystyle K}$ este o mulțime convexă central simetrică. Teorema lui Minkowski, numită uneori prima teoremă a lui Minkowski, afirmă că dacă ${\displaystyle \operatorname {vol} (K)>2^{n}\operatorname {vol} (\mathbb {R} ^{n}/\Gamma )}$, atunci ${\displaystyle K}$ conține un vector nenul din ${\displaystyle \Gamma }$.

Minimul succesiv ${\displaystyle \lambda _{k}}$ este definit ca fiind infimumul numerelor ${\displaystyle \lambda }$ pentru care ${\displaystyle \lambda K}$ conține ${\displaystyle k}$ vectori liniar independenți din ${\displaystyle \Gamma }$. Teorema lui Minkowski asupra minimelor succesive, numită uneori a doua teoremă a lui Minkowski, este o întărire a primei sale teoreme și afirmă că^[2]

${\displaystyle \lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}\operatorname {vol} (K)\leq 2^{n}\operatorname {vol} (\mathbb {R} ^{n}/\Gamma ).}$

Cercetări ulterioare în geometria numerelor

În perioada 1930-1960 s-au efectuat cercetări în geometria numerelor de către mulți specialiști în teoria numerelor (incluzându-i pe Louis Mordell, Harold Davenport și Carl Ludwig Siegel). În ultimii ani, Lenstra, Brion și Barvinok au dezvoltat teorii combinatoriale care enumeră punctele laticiale din unele mulțimi convexe.^[3]

Teorema subspațiului a lui W. M. Schmidt

În geometria numerelor, teorema subspațiului a fost obținută de Wolfgang M. Schmidt în 1972.^[4] Aceasta afirmă că dacă n este un întreg pozitiv, L₁,...,L_n sunt forme liniare liniar independente în n variabile cu coeficienți algebrici și ε>0 este un număr real dat, atunci punctele nenule întregi x în n coordonate care satisfac

${\displaystyle |L_{1}(x)\cdots L_{n}(x)|<|x|^{-\varepsilon }}$

se află într-un număr finit de subspații proprii ale lui Qⁿ.

Influența asupra analizei funcționale

Geometria numerelor a lui Minkowski a influențat profund analiza funcțională. Minkowski a demonstrat că mulțimile convexe simetrice induc norme în spații vectoriale finit dimensionale. Teorema lui Minkowski a fost generalizată la spații vectoriale topologice de către Kolmogorov, a cărui teoremă afirmă că mulțimile convexe simetrice care sunt închise și mărginite generează topologia unui spațiu Banach.^[5]

Cercetătorii continuă să studieze generalizările la domeniile stelate și la alte mulțimi neconvexe.^[6]