Un spațiu vectorial normat, numit pe scurt spațiu normat, este un spațiu vectorial real sau complex
pe care este definită o funcție,
numită normă, având următoarele proprietăți:
- este pozitiv definită:
dacă și numai dacă ![{\displaystyle x=0,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d54be06efe9f69b9bfb720190b5f29c76944a45b)
pentru orice vector
și pentru orice scalar
sau ![{\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c2956c000d6b14cfab5918e7129edd52af31706)
, ![{\displaystyle \forall x,y\in X}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60ba2c8f07c69485c67517e1c8e023354d9969cf)
Norma definește o distanță
Astfel, orice spațiu normat este spațiu metric.
Un spațiu normat în care orice șir Cauchy este convergent se numește spațiu Banach.
a) Următoarele aplicații sunt norme pe :}
![{\displaystyle \mathbb {R} :}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e4b4990e325dacbf14762890fd8f75fd9a767bb)
![{\displaystyle \|x\|={\sqrt {\sum _{k=1}^{n}x_{k}^{2}}},\;\forall x=(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0af28e18b41340d1d7bf11b257c0bee9b7bce28)
![{\displaystyle \|x\|=\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|,\;\forall x=(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f6635a13ec48c5fdb3864de8bcfaa8f7994c6dc)
![{\displaystyle \|x\|=\sup |x_{k}|,\;k={\overline {1,n}},\;\forall x=(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dae60c3830627d2156f630530a36e120c1e52bc)
b) Fie
și ![{\displaystyle f:{\mathcal {M}}\rightarrow \mathbb {R} _{+},\;f(A)={\sqrt {\det A}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6631e72c1905c795528c88289757c7ea317f844)
Atunci
este spațiu normat în raport cu norma dată prin ![{\displaystyle \|A\|=f(A).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37d619bf098835bce84ad89d3f47e6503ce1011e)