Șir convergent

În analiza matematică, un șir convergent este un șir infinit de elemente dintr-un spațiu metric sau, în general, dintr-un spațiu topologic, având proprietatea că elementele sale se apropie oricât de mult de un anumit element al spațiului.

Un șir care nu este convergent se numește divergent.

Într-un spațiu metric ${\displaystyle X}$, un șir ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots }$ se numește convergent dacă există un element ${\displaystyle x^{*}\in X}$ astfel încât pentru orice ${\displaystyle \varepsilon \in (0,\infty )}$, există un ${\displaystyle N_{\varepsilon }\in \mathbb {N} }$ cu proprietatea că, pentru orice ${\displaystyle n>N_{\varepsilon }}$, ${\displaystyle d(x_{n},x^{*})<\varepsilon }$. Numărul ${\displaystyle x^{*}}$ cu această proprietate se numește limita șirului.

Orice șir convergent este șir Cauchy. Implicația reciprocă nu are loc decât în spații metrice complete.

Teorema lui Weierstrass

Fie (a_n) un șir de numere reale.
a) Dacă (a_n) este un șir monoton crescător și mărginit superior, atunci el este convergent.
b) Dacă (a_n) este un șir monoton descrescător și mărginit inferior, atunci el este convergent.

Vezi și

• Limită a unui șir