Acest articol sau această secțiune are bibliografia incompletă sau inexistentă. Puteți contribui prin adăugarea de referințe în vederea susținerii bibliografice a afirmațiilor pe care le conține.
Spaţiile abstracte ale matematicii superioare. Săgeata indică incluziunea.
Noțiunea de completitudine este bazată pe cea de șir Cauchy: un șir de elemente dintr-un spațiu liniar normat se numește șir Cauchy dacă oricare ar fi există un indice astfel încât implică
Într-un spațiu liniar normat, oricare șir convergent este șir Cauchy, dar reciproc nu este adevărat în general. Spațiile Banach sunt spațiile în care este cazul.
Definiție—
Un spațiu liniar normat X în care oricare șir Cauchy este convergent se numește spațiu liniar normat complet sau spațiu Banach.
Un alt exemplu important de spațiu Banach este spațiul ℓp al șirurilor p-absolut sumabile, cu .
Teoremă—
Fie corp comutativ complet și fie Fie spațiul liniar normat al șirurilor din astfel încât seria este convergentă, unde norma este definită de:
Fie un șir Cauchy din spațiul unde și fie Atunci există un număr natural astfel încât pentru orice — adică În particular, pentru orice , dacă de unde rezultă că șirul este Cauchy. Prin complitudinea lui , există Fie atunci
Rezultă că pentru orice
de unde se deduce că:
iar spațiul fiind liniar,
Pentru orice
În concluzie, pentru orice șir Cauchy , există astfel încât — adică spațiul este complet.
Mai general, spațiul Lp al funcțiilor p-integrabile este Banach dacă .
Teoremă—
Oricare subspațiu liniar închis al unui spațiu Banach este spațiu Banach.
Demonstrație
Oricare șir Cauchy de elemente dintr-un spațiu liniar închis al unui spațiu Banach este șir convergent către un element din spațiul Banach.
Deoarece subspațiul este închis, limita șirului aparține subspațiului. Deci subspațiul este complet.
Teoremă—
Dacă sunt spații Banach, atunci spațiul liniar normat produs este de asemenea un spațiu Banach.
Demonstrație
Trebuie demonstrată doar completitudinea spațiului
Fie un șir Cauchy din spațiul X, unde
Pentru fiecare există astfel încât de unde rezultă că
Atunci există astfel încât
Deci
Se notează
În concluzie, oricare ar fi există astfel încât adică
Teoremă(echivalența spațiilor Banach)—
Dacă normele și definite în spațiul liniar L sunt echivalente, atunci spațiul liniar normat este spațiu Banach dacă și numai dacă spațiul liniar normat este spațiu Banach.
Demonstrație
Fie două constante alese astfel ca
Fie, în continuare, spațiu Banach și un șir Cauchy în
Pentru numărul există astfel încât pentru orice ;\;m,n\geq n_{0}}
există relația
Se obține
Prin urmare șirul este Cauchy în și întrucât spațiul este complet, este convergent în
Fie în adică
Însă și deci șirul este convergent în
În consecință, spațiul este spațiu Banach.
Schimbând cu rolurile normele și se obține că dacă este spațiu Banach atunci și este spațiu Banach.
O proprietate utilă a seriilor numerice este că orice serie absolut convergentă este convergentă. Deoarece această proprietate se generalizează la spații Banach, aceștia oferă un cadru natural pentru studiul seriilor generale.
Serii convergente și absolut convergente
Fie un spațiu liniar normat, un șir de elemente din și, pentru orice
Dacă există atunci seria se numește serie convergentă.
Dacă seria numerică este convergentă, atunci seria se numește absolut convergentă.
Convergența absolută implică convergența
Teoremă—
Un spațiu liniar normat este spațiu Banach dacă și numai dacă oricare serie absolut convergentă este convergentă.
Demonstrație
Fie un spațiu vectorial normat și fie o serie absolut convergentă. Fie și șirurile sumelor parțiale. Prin inegalitatea triunghiului,
Deci dacă este șir Cauchy, atunci și este șir Cauchy.
Prin urmare, spațiul liniar normat X fiind complet, există adică seria este convergentă.
Reciproc, fie un șir Cauchy în X.
Atunci există un subșir astfel încât
Rezultă că seria este convergentă.
Conform celor demonstrate în prima parte a teoremei, rezultă că seria este convergentă.
Se notează
Deoarece:
rezultă că subșirul al șirului este convergent.
Prin urmare, șirul este convergent.