Notația orbifold

În geometrie notația orbifold (sau semnătura orbifold) este un sistem inventat de matematicianul William Thurston și promovat de John Conway pentru reprezentarea tipurilor de grupuri de simetrie în spații bidimensionale de curbură constantă. Avantajul notației este că descrie aceste grupuri într-un mod care indică multe dintre proprietățile grupurilor: în special, urmează metoda lui William Thurston pentru descrierea unui orbifold^⁠(d) obținut prin aplicarea topologică a spațiului euclidian pe grupul luat în considerare.

Grupurile reprezentabile în această notație cuprind grupurile punctuale^⁠(d) de pe sferă (${\displaystyle S^{2}}$), grupurile de friză și grupurile de tapet^⁠(d) ale planului euclidian (${\displaystyle E^{2}}$) și analogii lor din planul hiperbolic (${\displaystyle H^{2}}$).

Definiția notației

Într-un grup descris prin notația orbifold pot apărea următoarele tipuri de transformări euclidiene:

• reflexia față de o dreaptă (sau un plan);
• translația cu un vector;
• rotația de ordin finit față de un punct;
• rotația infinită față de o dreaptă în spațiul tridimensional;
• reflexia translată, adică reflexia urmată de o translație.

Se presupune că toate translațiile care au loc formează un subgrup discret al simetriilor de grup care sunt descrise.

Fiecare grup este notat în notația orbifold printr-un șir finit format din următoarele simboluri:

• numere întregi pozitive ${\displaystyle 1,2,3,\dots }$ ;
• simbolul infinitului, ${\displaystyle \infty }$ ;
• asteriscul, * ;
• simbolul o (un cerc plin în documentele mai vechi), numit și toartă deoarece topologic reprezintă o suprafață închisă în formă de tor (topologic echivalent cu o toartă) — unde modelele se repetă în urma a două translații;
• simbolul ${\displaystyle \times }$ (un cerc gol în documentele mai vechi), unde un model se repetă ca imagine în oglindă fără a traversa o dreaptă de oglindire.

Un șir scris cu aldine (litere „negre”) reprezintă un grup de simetrii ale spațiului tridimensional euclidian. Un șir care nu este scris cu caractere aldine reprezintă un grup de simetrii ale planului euclidian, care se presupune că conține două translații independente.

Fiecare simbol corespunde unei transformări distincte:

• un număr întreg n la stânga unui asterisc indică o rotație de ordinul n în jurul unui punct;
• un număr întreg n la dreapta unui asterisc indică o transformare de ordinul 2n care se rotește în jurul unui punct caleidoscopic și se reflectă față de o dreaptă (sau plan);
• simbolul ${\displaystyle \times }$ indică o reflexie translată;
• simbolul ${\displaystyle \infty }$ indică o simetrie de rotație infinită în jurul unei drepte; poate apărea numai la grupurile notate cu aldine (prin abuz de limbaj, s-ar putea spune că un astfel de grup este un subgrup de simetrii ale planului euclidian cu o singură translație independentă — grupurile de frize apar în acest fel);
• simbolul excepțional o indică faptul că există exact două translații liniar independente.

Simboluri orbifold bune

Despre un simbol orbifold se spune că e bun dacă nu este unul dintre următoarele: p, pq, *p, *pq, pentru p, q ≥ 2 și p ≠ q.

Chirale și achirale

Un obiect este chiral dacă grupul său de simetrie nu conține reflexii; altfel se numește achiral. Orbifoldul corespunzător este orientabil în cazul chiral și neorientabil în caz contrar.

Caracteristica Euler și ordinul

Caracteristica Euler a unui orbifold poate fi citită din simbolul său Conway, după cum urmează. Fiecare semn are o valoare:

• n fără sau înainte de un asterisc contează drept ${\displaystyle {\frac {n-1}{n}}}$;
• n după un asterisc contează drept ${\displaystyle {\frac {n-1}{2n}}}$;
• asteriscul și ${\displaystyle \times }$ contează drept 1;
• o contează drept 2.

Se face suma valorilor acestor caracteristici.

Caracteristica Euler se obține scăzând din 2 suma valorilor caracteristicilor de mai sus. Dacă această sumă este 2, ordinul este infinit, adică notația reprezintă un grup de tapet sau un grup de friză. „Teorema magică” a lui Conway indică faptul că cele 17 grupuri de tapet sunt exact acelea cu suma valorilor caracteristicilor egală cu 2. În caz contrar, ordinul este 2 împărțit la caracteristica Euler.

Grupuri egale

Următoarele grupuri sunt izomorfe:

• 1* și *11
• 22 și 221
• *22 și *221
• 2* și 2*1.

Acest lucru se datorează faptului că rotația „de 1 ori” este rotația „vidă” (poziția inițială).

Grupuri bidimensionale

Un fulg de zăpadă perfect are simetria *6•,

Un pentagon are simetria *5•, imaginea cu săgeți are 5•.

Drapelul Hong Kongului^⁠(d) are o simetrie de rotație cu 5 poziții, 5•.

Simetria unui obiect bidimensional fără simetrie de translație poate fi descrisă prin tipul de simetrie tridimensională prin adăugarea unei a treia dimensiuni la obiect care nu adaugă sau nu strica simetria. De exemplu, pentru o imagine bidimensională se poate considera o cutie de carton cu acea imagine afișată pe o parte; forma cutiei trebuie să fie astfel încât să nu strice simetria sau poate fi imaginată a fi infinită. Astfel se obține n• și *n•. • se adaugă la grupurile unidimensionale și bidimensionale pentru a indica existența unui punct fix. (În tridimensional aceste grupuri există într-un orbifold digonal cu n poziții și sunt reprezentate drept nn și *nn.)

Similar, o imagine unidimensională poate fi desenată orizontal pe o bucată de carton, cu grija de a evita simetria suplimentară în raport cu dreapta care conține imaginea, de exemplu prin desenarea unei bare orizontale sub imagine. Astfel, grupurile de simetrie discretă în spațiul unidimensional sunt *•, *1•, ∞• și *∞•.

O altă metodă de a construi un obiect tridimensional dintr-un obiect unidimensional sau bidimensional pentru a descrie simetria este prin produsul cartezian dintre obiect și un obiect unidimensional sau bidimensional asimetric.

Tabele de corespondențe

Sferică

Domenii fundamentale ale grupurilor punctuale de reflexie 3D

(*11), C1v = Cs	(*22), C2v	(*33), C3v	(*44), C4v	(*55), C5v	(*66), C6v
Ordin 2	Ordin 4	Ordin 6	Ordin 8	Ordin 10	Ordin 12
(*221), D1h = C2v	(*222), D2h	(*223), D3h	(*224), D4h	(*225), D5h	(*226), D6h
Ordin 4	Ordin 8	Ordin 12	Ordin 16	Ordin 20	Ordin 24
(*332), Td		(*432), Oh		(*532), Ih
Ordin 24		Ordin 48		Ordin 120

Grupuri de simetrie sferică^[1]

Orbifold	Coxeter	Schönflies	Herm.–Maug.	Ordin
Grupuri poliedrice
*532	[3,5]	Ih	53m	120
532	[3,5]+	I	532	60
*432	[3,4]	Oh	m3m	48
432	[3,4]+	O	432	24
*332	[3,3]	Td	43m	24
3*2	[3+,4]	Th	m3	24
332	[3,3]+	T	23	12
Grupuri diedrale și ciclice: n = 3, 4, 5 ...
*22n	[2,n]	Dnh	n/mmm sau 2nm2	4n
2*n	[2+,2n]	Dnd	2n2m sau nm	4n
22n	[2,n]+	Dn	n2	2n
*nn	[n]	Cnv	nm	2n
n*	[n+,2]	Cnh	n/m sau 2n	2n
n×	[2+,2n+]	S2n	2n sau n	2n
nn	[n]+	Cn	n	n
Cazuri particulare
*222	[2,2]	D2h	2/mmm sau 22m2	8
2*2	[2+,4]	D2d	222m sau 2m	8
222	[2,2]+	D2	22	4
*22	[2]	C2v	2m	4
2*	[2+,2]	C2h	2/m sau 22	4
2×	[2+,4+]	S4	22 sau 2	4
22	[2]+	C2	2	2
*22	[1,2]	D1h = C2v	1/mmm sau 21m2	4
2*	[2+,2]	D1d = C2h	212m sau 1m	4
22	[1,2]+	D1 = C2	12	2
*1	[ ]	C1v = Cs	1m	2
1*	[2,1+]	C1h = Cs	1/m sau 21	2
1×	[2+,2+]	S2 = Ci	21 sau 1	2
1	[ ]+	C1	1	1

Planul euclidian

Grupuri de friză

Grupuri de friză

IUC	Cox.	Schön.†	Diagramă,‡ orbifold	Exemple și expresie Conway[2]	Descriere
p1	[∞]+	C∞ Z∞	∞∞	F F F F F F F F hop	(T) Doar translație: Acest grup este generat individual, printr-o translație cu cea mai mică distanță pentru care modelul este periodic.
p11g	[∞+,2+]	S∞ Z∞	∞×	Γ L Γ L Γ L Γ L step	(TG) Reflexii translate și translații: Acest grup este generat individual, printr-o reflexie translată, translațiile fiind obținute prin combinarea a două reflexii translate.
p1m1	[∞]	C∞v Dih∞	*∞∞	Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ sidle	(TV) Drepte de reflexie verticale și translații: Grupul este același cu grupul netrivial în cazul unidimensional; este generat de o translație și o reflexie în axa verticală.
p2	[∞,2]+	D∞ Dih∞	22∞	S S S S S S S S spinning hop	(TR) Translații și rotații de 180°: Grupul este generat de o translație și o rotație de 180°.
p2mg	[∞,2+]	D∞d Dih∞	2*∞	V Λ V Λ V Λ V Λ spinning sidle	(TRVG) Drepte de reflexie verticale, reflexii translate, translații și rotații de 180°: Translațiile de aici provin din reflexiile translate, astfel încât acest grup este generat de o reflexie translată și fie de o rotație, fie de o reflexie verticală.
p11m	[∞+,2]	C∞h Z∞×Dih1	∞*	B B B B B B B B jump	(THG) Translații, reflexii orizontale, reflexii translate: Acest grup este generat de o translație și reflexia pe axa orizontală. Reflexia translată apare aici ca o compunere a translației și a reflexiei orizontale.
p2mm	[∞,2]	D∞h Dih∞×Dih1	*22∞	H H H H H H H H spinning jump	(TRHVG) Drepte de reflexie orizontale și verticale, translații și rotații la 180°: Acest grup necesită trei generatoare, cu un set generator constând dintr-o translație, reflexia pe axa orizontală și o reflexie pe o axă verticală.

^† Notația Schönflies a grupurilor punctuale este extinsă aici la cazuri de simetrii infinite de puncte diedrale echivalente.

^‡ Diagrama prezintă un domeniu fundamental în galben, cu drepte de reflexie în albastru, drepte de reflexie translată în verde întrerupt, normale de translație în roșu și puncte de rotație de două ori ca mici pătrate verzi.

Grupuri de tapet

Domeniile fundamentale ale grupurilor de reflexie euclidiene

(*442), p4m	(4*2), p4g
(*333), p3m	(632), p6

17 grupuri de tapet^[3]

Orbifold	Coxeter	Hermann Mauguin	Speiser Niggli	Polya Guggenhein	Fejes Toth Cadwell
*632	[6,3]	p6m	C(I)6v	D6	W16
632	[6,3]+	p6	C(I)6	C6	W6
*442	[4,4]	p4m	C(I)4	D*4	W14
4*2	[4+,4]	p4g	CII4v	Do4	W24
442	[4,4]+	p4	C(I)4	C4	W4
*333	[3[3]]	p3m1	CII3v	D*3	W13
3*3	[3+,6]	p31m	CI3v	Do3	W23
333	[3[3]]+	p3	CI3	C3	W3
*2222	[∞,2,∞]	pmm	CI2v	D2kkkk	W22
2*22	[∞,2+,∞]	cmm	CIV2v	D2kgkg	W12
22*	[(∞,2)+,∞]	pmg	CIII2v	D2kkgg	W32
22×	[∞+,2+,∞+]	pgg	CII2v	D2gggg	W42
2222	[∞,2,∞]+	p2	C(I)2	C2	W2
**	[∞+,2,∞]	pm	CIs	D1kk	W21
*×	[∞+,2+,∞]	cm	CIIIs	D1kg	W11
××	[∞+,(2,∞)+]	pg	CII2	D1gg	W31
o	[∞+,2,∞+]	p1	C(I)1	C1	W1

Planul hiperbolic

Modelul discului Poincaré al domeniului fundamental al triunghiurilor^⁠(d)

Exemple cu triunghiuri dreptunghice (*2pq)
*237	*238	*239	*23∞
*245	*246	*247	*248	*∞42
*255	*256	*257	*266	*2∞∞
Exemple cu triunghiuri oarecare (*pqr)
*334	*335	*336	*337	*33∞
*344	*366	*3∞∞	*63	*∞3
Example cu poligoane superioare (*pqrs...)
*2223	*(23)2	*(24)2	*34	*44
*25	*26	*27	*28
*222∞	*(2∞)2	*∞4	*2∞	*∞∞

Primele câteva grupuri hiperbolice, ordonate după caracteristica lor Euler sunt:

Grupuri cu simetrie hiperbolică^[4]

−1/χ	Orbifold	Coxeter
84	*237	[7,3]
48	*238	[8,3]
42	237	[7,3]+
40	*245	[5,4]
36–26.4	*239, *2 3 10	[9,3], [10,3]
26.4	*2 3 11	[11,3]
24	*2 3 12, *246, *334, 3*4, 238	[12,3], [6,4], [(4,3,3)], [3+,8], [8,3]+
22.3–21	*2 3 13, *2 3 14	[13,3], [14,3]
20	*2 3 15, *255, 5*2, 245	[15,3], [5,5], [5+,4], [5,4]+
19.2	*2 3 16	[16,3]
18+2⁄3	*247	[7,4]
18	*2 3 18, 239	[18,3], [9,3]+
17.5–16.2	*2 3 19, *2 3 20, *2 3 21, *2 3 22, *2 3 23	[19,3], [20,3], [20,3], [21,3], [22,3], [23,3]
16	*2 3 24, *248	[24,3], [8,4]
15	*2 3 30, *256, *335, 3*5, 2 3 10	[30,3], [6,5], [(5,3,3)], [3+,10], [10,3]+
14+2⁄5–13+1⁄3	*2 3 36 ... *2 3 70, *249, *2 4 10	[36,3] ... [60,3], [9,4], [10,4]
13+1⁄5	*2 3 66, 2 3 11	[66,3], [11,3]+
12+8⁄11	*2 3 105, *257	[105,3], [7,5]
12+4⁄7	*2 3 132, *2 4 11 ...	[132,3], [11,4], ...
12	*23∞, *2 4 12, *266, 6*2, *336, 3*6, *344, 4*3, *2223, 2*23, 2 3 12, 246, 334	[∞,3] [12,4], [6,6], [6+,4], [(6,3,3)], [3+,12], [(4,4,3)], [4+,6], [∞,3,∞], [12,3]+, [6,4]+ [(4,3,3)]+
...

Note

1. en Symmetries of Things, Appendix A, page 416
2. en Frieze Patterns Matematicianul John Conway a creat nume pentru pași pentru fiecare din grupurile de frize.
3. en Symmetries of Things, Appendix A, page 416
4. en Symmetries of Things, Chapter 18, More on Hyperbolic groups, Enumerating hyperbolic groups, p239

Bibliografie

• en John H. Conway, Olaf Delgado Friedrichs, Daniel H. Huson, and William P. Thurston. On Three-dimensional Orbifolds and Space Groups. Contributions to Algebra and Geometry, 42(2):475-507, 2001.
• en J. H. Conway, D. H. Huson. The Orbifold Notation for Two-Dimensional Groups. Structural Chemistry, 13 (3-4): 247–257, August 2002.
• en J. H. Conway (1992). "The Orbifold Notation for Surface Groups". In: M. W. Liebeck and J. Saxl (eds.), Groups, Combinatorics and Geometry, Proceedings of the L.M.S. Durham Symposium, July 5–15, Durham, UK, 1990; London Math. Soc. Lecture Notes Series 165. Cambridge University Press, Cambridge. pp. 438–447
• en John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, The Symmetries of Things 2008, ISBN: 978-1-56881-220-5
• Hughes, Sam (2019), Cohomology of Fuchsian Groups and Non-Euclidean Crystallographic Groups, arXiv:1910.00519 , Bibcode:2019arXiv191000519H

Legături externe

• en A field guide to the orbifolds Arhivat în 19 aprilie 2021, la Wayback Machine. (Notes from class on "Geometry and the Imagination" Arhivat în 4 aprilie 2014, la Wayback Machine. in Minneapolis, with John Conway, Peter Doyle, Jane Gilman and Bill Thurston, on June 17–28, 1991. See also PDF, 2006)
• en Tegula Software for visualizing two-dimensional tilings of the plane, sphere and hyperbolic plane, and editing their symmetry groups in orbifold notation

	Portal Matematică