Ideal maximal
From Wikipedia, the free encyclopedia
În matematică, mai exact în teoria inelelor(d), un ideal maximal[1] este un ideal care este maximal dintre toate idealele proprii.[2][3] Cu alte cuvinte, I este un ideal maximal al unui inel R dacă nu există alte ideale conținute între I și R.[1]
Idealele maximale sunt importante pentru că factorii inelelor din idealele maxime sunt inele simple, iar în particular inelele comutative cu unitate sunt și corpuri.
În teoria inelelor necomutative, un ideal maximal drept este definit în mod analog ca fiind un element maximal în mulțimea parțial ordonată(d) a idealelor drepte proprii. Similar, un ideal maximal stâng este un element maximal al mulțimi parțial ordonate a idealelor proprii stângi. Deoarece un ideal maxim unilateral A nu este neapărat bilateral, câtul R/A nu este neapărat un inel, dar este un modul simplu peste R. Dacă R are un ideal maximal drept unic, atunci R este cunoscut ca fiind un inel local(d), iar idealul maximal drept este același cu idealul maximal stâng și cu idealul maximal bilateral al inelului și este de fapt radicalul Jacobson(d) J(R) al inelului.
Este posibil ca un inel să aibă un ideal maximal bilateral unic și totuși să nu aibă ideale maximale unice: de exemplu, în inelul matricilor pătrate 2 × 2 peste un corp, idealul nul este un ideal maximal bilateral, dar există multe ideale maximale drepte.