Compus de cinci tetraedre

În geometrie compusul de cinci tetraedre este unul dintre cei cinci compuși poliedrici regulați. Acest poliedru poate fi considerat fie o stelare a icosaedrului, fie ca un compus. Acest compus a fost descris pentru prima dată de Edmund Hess în 1876.

Compus de cinci tetraedre
Descriere
Tip	compus poliedric regulat UC04 - UC05 - UC06
Fețe	20
Laturi (muchii)	30
Vârfuri	20
Configurația vârfului	3.3.3[1]
Configurația feței	V3.3.3
Diagramă Coxeter	{5,3}[5{3,3}]{3,5}[2]
Grup de simetrie	Compus: icosaedrică (I) Constituenți: tetraedrică chirală (T)
Volum	≈0,589 a3   (a = latura)
Poliedru dual	autodual
Proprietăți	Constituenți: 5 tetraedre
Figura vârfului

Poate fi considerat și o fațetare a unui dodecaedru regulat.

Are indicele de compus uniform UC₀₅ și indicele Wenninger 24.

Compusul

Este un compus poliedric din cinci tetraedre și are simetrie icosaedrică chirală (I). Este unul dintre cei cinci compuși regulații construiți din poliedre platonice identice.

Are aceeași configurație a vârfurilor ca și dodecaedrul.

Există două forme enantiomorfe (aceeași figură, dar cu chiralitate opusă) ale acestui poliedru compus. Ambele forme împreună creează reflexia simetrică compus de zece tetraedre.

Are o densitate mai nare decât 1.

Ca pavare sferică

Model transparent (animație)

Cinci tetraedre intercalate

Mărimi asociate

Coordonate carteziene

Coordonatele carteziene ale vârfurilor acestui compus sunt date de:

${\displaystyle \left(\,\pm {\frac {\sqrt {2}}{4}},\,\pm {\frac {\sqrt {2}}{4}},\,\pm {\frac {\sqrt {2}}{4}}\,\right)}$,

plus toate permutările lui:

${\displaystyle \left(\,\pm {\frac {{\sqrt {2}}+{\sqrt {10}}}{8}},\,\pm {\frac {{\sqrt {10}}-{\sqrt {2}}}{8}},\,0\,\right)}$.

Volum

Următoarea formulă pentru volum V este stabilită pentru lungimea laturilor tuturor poligoanelor (care sunt regulate) a:

${\displaystyle V={\frac {5{\sqrt {2}}}{12}}\,a^{3}\approx 0,589256~a^{3}.}$

Ca stelare

Compusul de cinci tetraedre poate fi considerat o stelare a icosaedrului.

Diagrama stelării	Nucleul stelării	Anvelopa convexă
	Icosaedru	dodecaedru

Compusul de cinci tetraedre în dodecaedru

Ca fațetare

Este o fațetare a dodecaedrului, cum se vede din imaginea alăturată.

Teoria grupurilor

Compusul de cinci tetraedre este o ilustrare geometrică a noțiunilor de orbite și stabilizatori^⁠(d), după cum urmează.

Grupul de simetrie al compusului este grupul icosaedric de rotație I de ordinul 60, în timp ce stabilizatorul unui singur tetraedru ales este grupul tetraedric de rotație T de ordinul 12, iar spațiul orbitelor I/T (de ordinul 60/12 = 5) este identificat în mod natural cu cele 5 tetraedre – setul gT îi corespunde tetraedrului g.

O proprietate duală neobișnuită

Compus de cinci tetraedre

Compusul este unul neobișnuit, prin aceea că dualul său este enantiomorf cu cel inițial. Dacă fețele sunt răsucite la dreapta, atunci vârfurile sunt răsucite la stânga. La dual, fețele devin vârfuri răsucite la dreapta, iar vârfurile devin fețe răsucite la stânga, dând geamănul chiral. Figurile cu această proprietate sunt extrem de rare.

Note

1. ki, bendwavy.org, accesat 2023-08-18
2. Coxeter, Regular polytopes, p. 50

Bibliografie

• en Wenninger, Magnus (1974). Polyhedron Models. Cambridge University Press. ISBN 0-521-09859-9.
• en Coxeter, Harold Scott MacDonald; Du Val, P.; Flather, H. T.; Petrie, J. F. (1999). The Fifty-Nine Icosahedra (ed. 3rd). Tarquin. ISBN 978-1-899618-32-3. MR 0676126. (1st Edn University of Toronto (1938))
• en H.S.M. Coxeter, Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN: 0-486-61480-8, 3.6 The five regular compounds, pp.47-50, 6.2 Stellating the Platonic solids, pp.96-104

Vezi și

• Lista compușilor poliedrici uniformi

Compuși regulați

• Compus de două tetraedre
• Compus de zece tetraedre
• Compus de cinci cuburi
• Compus de cinci octaedre

Compuși de tetraedre

• Compus de două tetraedre
• Compus de trei tetraedre
• Compus de patru tetraedre
• Compus de șase tetraedre
• Compus de șase tetraedre cu libertate de rotație
• Compus de zece tetraedre
• Compus de douăsprezece tetraedre cu libertate de rotație

Legături externe

• Materiale media legate de compus de cinci tetraedre la Wikimedia Commons
• en Eric W. Weisstein, Tetrahedron 5-Compound la MathWorld.
• en Metal Sculpture of Five Tetrahedra Compound
• en VRML model
• en Compounds of 5 and 10 Tetrahedra by Sándor Kabai, The Wolfram Demonstrations Project.
• en Klitzing, Richard. „3D compound”.
• en Polyhedron Category C1: Compound Regulars: Ki

	Portal Matematică

Selecție din cele 59 de posibile stelări ale icosaedrului
Regulat	Duale ale uniformelor		Compuși regulați			Stelare regulată	Altele
Icosaedru (convex)	Micul icosaedru triambic	Marele icosaedru triambic	Compus de cinci octaedre	Compus de cinci tetraedre	Compus de zece tetraedre	Marele icosaedru	Dodecaedru excavat	Stelarea finală
Procesul de stelare al icosaedrului creează un număr de poliedre și compuși înrudiți, cu simetrie icosaedrică.