ferramenta matemática em análise funcional Da Wikipédia, a enciclopédia livre
Em Matemática, a Transformada de Abel, enunciada por Niels Henrik Abel, é uma transformada integral utilizada em análise de projeções de funções que apresentam simetria esférica ou axial, como, por exemplo, na estimativa da distribuição de massa em galáxias a partir de observações astronômicas, na obtenção da variação de parâmetros atmosféricos com a altitude a partir da ocultação de ondas de rádio pela Terra[1] e na análise da imagem captada por uma câmara de TV que varre uma faixa estreita.[2] Podem-se definir 4 versões diferentes para a transformação, denotadas aqui por a , cada uma delas sendo útil na solução de determinados problemas. Não há consenso na literatura a respeito da numeração a ser atribuída a cada versão.[3]
A versão mais usada da transformada de Abel de uma função f(r) é dada por:
Assumindo f(r) indo a zero mais rapidamente que 1/r, a correspondente transformada inversa é dada por:
A transformada de Abel também está associada ao tema das transformadas fracionais, tendo sido Abel um dos primeiros a explorar o Cálculo Fracional. As equações integrais (fracionárias) de Riemann-Liouville e de Weyl podem ser resolvidas com ajuda da transformada de Abel, após a conveniente substituição de variáveis.[5] Derivadas fracionárias aparecem frequentemente também na descrição da dinâmica da condução de calor em sólidos e da transmissão de sinais elétricos por cabos metálicos.[2]
Origem
Abel foi o pioneiro no estudo das equações integrais, ao trabalhar, entre 1802 e 1809, com a chamada equação integral de Abel[nota 1]
com g(x) dada e f(x) incógnita. Essa é uma equação integral de Volterra do primeiro tipo; com α = ½, tem relevância na solução do problema da curva tautocrônica, o que foi o fato motivador da pesquisa original. Demonstra-se facilmente que
onde * denota a operação de convolução. A equação de convolução resultante
onde g(0+) é uma forma concisa de escrever o limite
De forma mais genérica, outras equações integrais em que o integrando é ou pode ser levado, por meio de uma substituição de variáveis, à forma são resolvidas pela mesma técnica. Por exemplo, a solução da equação mais geral
é dada por
e uma equação na forma
com as substituições u = x2 e v = y2, se transforma na equação
que tem a forma da equação (1f), com , e a solução, portanto, é dada por (1g).[3]
Transformadas diretas e inversas
As 4 versões da transformada de Abel são as seguintes:
A solução das equações integrais (2a) a (2d), sob a condição geral
é dada pela respectiva transformada inversa de Abel:
A transformada , por ser um caso especial (o caso que apresenta simetria circular) da transformada de Radon bidimensional, pode ainda ser invertida pela fórmula
(4d) pode ser reescrita em forma de operadores como
Ou seja, duas convoluções com a função núcleo modificado equivalem à inversa da diferenciação, isto é, a uma integração. Por isso, diz-se que uma convolução equivale a "meia integração". Essa propriedade leva diretamente aos conceitos de derivada fracional e de integral fracional.[2]
Relação com as transformadas de Radon, de Hankel e de Fourier
Se uma função bidimensional f(x,y) possui simetria circular, podemos escrever f(x,y) = f(r). A transformada de Radon de f(r) será uma função apenas de ρ, e podemos fazer θ = 0 na fórmula de definição
onde é a transformada de Radon bidimensional de f(x,y), de forma a obter
que é a definição da transformada de Abel .
Como é um caso especial de , vale o teorema da fatia central e podemos escrever, em forma de operadores
onde denota a transformada de Fourier de dimensão n. Essa propriedade é importante porque permite obter transformadas de Abel a partir de tabelas de transformadas de Fourier.
Finalmente, como a transformada de Hankel de ordem 0 é idêntica à transformada bidimensional de Fourier para a situação considerada, de simetria circular, e como a transformada de Hankel é sua própria inversa, podemos também escrever
A expressão (4i) é conhecida como o anel (ou o ciclo) de transformadas Abel-Fourier-Hankel (ing. Abel-Fourier-Hankel ring of transforms). Cumpre recordar que a função original f precisa apresentar simetria circular para que a transformação de Abel seja aplicada.[2]
Solução de equações integrais fracionárias
A equação integral de Riemann-Liouville
onde Γ(x) é a função gama, é resolvida com ajuda da transformada de Abel após a substituição de variáveis x = u2 e y = v2, e fazendo α = ½. Com isso, (5a) se transforma em
A equação integral de Weyl
mediante a mesma substituição de variáveis, se transforma em
Para manter coerência com o texto do verbete, empregou-se x como a variável independente, mas a maioria das tabelas que se encontra na literatura utiliza r, pois nos problemas práticos geralmente se trata de um raio vetor.
R. Bracewell - The Fourier Transform and its Applications, 3rd. Edition, New York: McGraw-Hill, 2000, ISBN 0-07303-938-1 / ISBN 978-0-0730-3938-1, Cap. 13, pp. 351 a 357
S. Deans - Radon and Abel Transformsin A. Poularikas (org) - The Transforms and Applications Handbook, 2nd. edition, Boca Raton: CRC, 2000, Cap. 8, pp. 776 a 783