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Em matemática, o teorema da projeção de fatia, teorema da fatia de Fourier ou ainda teorema da fatia central em duas dimensões estabelece que os resultados dos seguintes dois cálculos são iguais:
Este artigo ou secção contém uma lista de referências no fim do texto, mas as suas fontes não são claras porque não são citadas no corpo do artigo, o que compromete a confiabilidade das informações. (Junho de 2023) |
Em termos de operador, se
Como f(x,y) é circularmente simétrica, pode-se também escrever f(r), onde r é o raio vetor de um ponto qualquer (x,y).
Esta ideia pode ser estendida para dimensões mais altas.
Demonstra-se que a transformada de Abel A(u), a transformada de Fourier (unidimensional) F(u) e a transformada de Hankel de ordem 0 K0(u) possuem a seguinte propriedade:
onde f(r) é uma função bidimensional circularmente simétrica. Em notação de operadores, K F A = I, onde I é o operador identidade. Essas expressões são equivalentes ao teorema de projeção de fatia em duas dimensões.
Para funções que não apresentam simetria circular, vale a relação mais genérica F2-1 F1 R = I, onde F2-1 é a transformada inversa bidimensional de Fourier e R é a transformada de Radon (bidimensional). Se escrevermos essa expressão como F1 R = F2 e compararmos com F1 P1 = S1 F2, concluímos que o operador R equivale a uma combinação de P1 e S1; ele projeta uma fatia de uma função bidimensional sobre uma linha reta.
A extensão do teorema para uma dimensão n pode ser escrita, a partir desses resultados, como F1 Rn = Fn.
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