Teorema de Hahn-Banach

O Teorema de Hahn-Banach^[1] é um dos principais resultados da Análise Funcional na Matemática. O Teorema apresenta condições para que funcionais lineares definidos em um subespaço de um espaço vetorial possam ser estendidos para todo o espaço. Aplicado para espaços normados, garante que exista um determinado funcional linear, contribuindo para a Teoria de Espaços Duais, que representa uma importante área da Teoria de Espaços Normados.

O Teorema foi inicialmente deduzido por H. Hahn (1927)^[2]. Foi então apresentado em sua forma geral por Stefan Banach (1929)^[3] e generalizado para espaços vetoriais complexos por H. F. Bohnenblust e A. Sobczyk (1938)^[4].

Resultados Preliminares

Conjunto parcialmente ordenado

Um conjunto parcialmente ordenado é um conjunto ${\displaystyle M}$ no qual é definida uma ordem parcial, ou seja, uma relação binária representada por ${\displaystyle \leq }$ que satisfaz as seguintes condições:

• ${\displaystyle a\leq a}$ para todo ${\displaystyle a\in M}$;
• Se ${\displaystyle a\leq b}$ e ${\displaystyle b\leq a}$, então ${\displaystyle a=b}$;
• Se ${\displaystyle a\leq b}$ e ${\displaystyle b\leq c}$, então ${\displaystyle a\leq c}$.

Lema de Zorn

O Lema de Zorn^[1] é um axioma da Teoria dos Conjuntos, equivalente ao Axioma da Escolha. O lema pode ser apresentado como: se, em um conjunto não-vazio e parcialmente ordenado, todo subconjunto totalmente ordenado tem uma quota superior, então o conjunto tem um elemento maximal.

Extensão

Seja um objeto matemático (por exemplo, uma transformação linear) definido em um subconjunto ${\displaystyle Z}$ de um conjunto ${\displaystyle X}$. Uma extensão^[1] busca definir o objeto em todo o conjunto ${\displaystyle X}$, preservando determinadas propriedades válidas no subconjunto ${\displaystyle Z}$.

No teorema de Hahn-Banach, o objeto a ser estendido é um funcional linear f definido em um subespaço ${\displaystyle Z}$ de um espaço vetorial ${\displaystyle X}$.

Funcional Sublinear

Um funcional sublinear^[1] é uma função ${\displaystyle p}$ de valor real definida em um espaço vetorial X com as seguintes propriedades:

• ${\displaystyle p(x+y)\leq p(x)+p(y)}$ para todo ${\displaystyle x,y\in X}$;
• ${\displaystyle p(\alpha x)=\alpha \,p(x)}$ para todo ${\displaystyle \alpha \geq 0}$, ${\displaystyle \alpha \in \mathrm {R} }$ e para todo ${\displaystyle x\in X}$.

Enunciado do Teorema de Hahn-Banach

O Teorema de Hahn-Banach^[1] pode ser assim enunciado:

Teorema de Hahn-Banach: Seja ${\displaystyle X}$ um espaço vetorial no campo dos número reais e ${\displaystyle p}$ um funcional sublinear em ${\displaystyle X}$. Seja ainda ${\displaystyle f}$ um funcional linear definido em um subespaço ${\displaystyle Z}$ de ${\displaystyle X}$ que satisfaça ${\displaystyle f(x)\leq p(x)}$ para todo ${\displaystyle x\in Z}$. Então ${\displaystyle f}$ possui uma extensão linear ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ de ${\displaystyle Z}$ para ${\displaystyle X}$, ou seja, ${\displaystyle {\tilde {f}}{\textrm {satisfaz}}\,{\tilde {f}}(x)=f(x)}$ para todo ${\displaystyle x\in Z}$ e ${\displaystyle {\tilde {f}}(x)\leq p(x)}$ para todo ${\displaystyle x\in X}$.

Demonstração

A demonstração pode ser encontrada em ^[1]. Em termos gerais, inicialmente demonstra-se que o conjunto ${\displaystyle E}$ de todas as extensões lineares ${\displaystyle g}$ de ${\displaystyle f}$ que satisfazem ${\displaystyle g(x)\leq p(x)}$ pode ser parcialmente ordenado. Após isso, mostra-se que todo subconjunto de ${\displaystyle E}$ que seja totalmente ordenado possui uma cota superior. Então, pelo Lema de Zorn, existe um elemento maximal ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ de ${\displaystyle E}$. Em seguida, mostra-se que o domínio dessa extensão ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ é, de fato, o espaço ${\displaystyle X}$. Portanto, conclui-se que ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ é a extensão linear de ${\displaystyle f}$ dita no enunciado do teorema, e a demonstração é concluída.

Outras Versões do Teorema

Espaços Vetoriais Complexos

O Teorema de Hahn-Banach para espaços vetoriais complexos pode ser enunciado da seguinte forma^[1]:

"Seja ${\displaystyle X}$ um espaço vetorial no campo dos número reais ou dos números complexos e ${\displaystyle p}$ um funcional em ${\displaystyle X}$ de valor real que satisfaça as seguintes condições:

• ${\displaystyle p(x+y)\leq p(x)+p(y)}$ para todo ${\displaystyle x,y\in X}$;
• ${\displaystyle p(\alpha x)=|\alpha |\,p(x)}$ para todo ${\displaystyle \alpha }$ escalar e para todo ${\displaystyle x\in X}$.

Seja ainda ${\displaystyle f}$ um funcional linear definido em um subespaço ${\displaystyle Z}$ de ${\displaystyle X}$ que satisfaça ${\displaystyle |f(x)|\leq p(x)}$ para todo ${\displaystyle x\in Z}$. Então ${\displaystyle f}$ possui uma extensão linear ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ de ${\displaystyle Z}$ para ${\displaystyle X}$, ou seja, ${\displaystyle f}$ satisfaz ${\displaystyle {\tilde {f}}(x)=f(x)}$ para todo ${\displaystyle x\in Z}$ e ${\displaystyle |{\tilde {f}}(x)|\leq p(x)}$ para todo ${\displaystyle x\in X}$."

A demonstração segue de maneira análoga à demonstração da versão real do teorema.

Espaços Normados

O Teorema de Hahn-Banach para espaços normados pode ser enunciado da seguinte forma^[1]:

"Seja ${\displaystyle f}$ um funcional linear definido em um subespaço ${\displaystyle Z}$ de um espaço normado ${\displaystyle X}$. Então existe um funcional linear limitado ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ em ${\displaystyle X}$ que é uma extensão de ${\displaystyle f}$ para ${\displaystyle X}$ e que possui a mesma norma, ou seja, ${\displaystyle \|{\tilde {f}}\|_{X}=\|f\|_{Z}}$."

A demonstração pode ser realizada a partir da primeira versão do teorema com ${\displaystyle p(x)=\|f\|\|x\|}$.

Versão Geométrica

A versão geométrica do Teorema de Hahn-Banach pode ser assim enunciada:

"Seja ${\displaystyle X}$ um espaço normado e ${\displaystyle C\subseteq X}$ um subconjunto convexo e fechado de ${\displaystyle X}$. Dado ${\displaystyle x_{0}\in X}$, ${\displaystyle x_{0}\not \in C}$, existe um funcional linear limitado ${\displaystyle f}$ que satisfaz ${\displaystyle f(x_{0})\geq f(x)}$ para todo ${\displaystyle x\in C}$."

A demonstração segue a partir da definição de Funcional de Minkowski.

Consequências do Teorema de Hahn-Banach

Funcionais Lineares Limitados

A partir do Teorema de Hahn-Banach, obtém-se o seguinte resultado^[1]:

"Seja ${\displaystyle X}$ um espaço normado e ${\displaystyle x_{0}\in X}$, ${\displaystyle x_{0}\neq 0}$. Então existe um funcional linear limitado ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ em ${\displaystyle X}$ que satisfaz ${\displaystyle \|{\tilde {f}}\|=1}$ e ${\displaystyle {\tilde {f}}(x_{0})=\|x_{0}\|}$."

A demonstração pode ser feita a partir da versão do Teorema para Espaços Normados, considerando o subespaço ${\displaystyle Z}$ de todos os elementos ${\displaystyle x=\alpha x_{0}}$, no qual ${\displaystyle \alpha }$ é um número escalar, e definindo em ${\displaystyle Z}$ o funcional ${\displaystyle f(x)=f(\alpha x_{0})=\alpha \|x_{0}\|}$.

Norma de um vetor

Outro resultado obtido a partir do Teorema de Hahn-Banach é dado por^[1]:

"Seja ${\displaystyle X}$ um espaço normado e ${\displaystyle x}$ um vetor de ${\displaystyle X}$, então ${\displaystyle \|x\|=sup{\frac {|f(x)|}{\|f\|}}}$, para todo funcional linear ${\displaystyle f}$ de ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle f\neq 0}$."

Teorema de Philips

O Teorema de Philips é pode ser considerado uma versão do Teorema de Hahn-Banach para transformações lineares:

"Seja ${\displaystyle X}$ um espaço normado e ${\displaystyle Z}$ um subespaço de ${\displaystyle X}$. Seja ainda uma transformação linear limitada ${\displaystyle T}$ definida em ${\displaystyle Z}$ cuja imagem está no espaço ${\displaystyle l_{\infty }}$. Então existe a extensão ${\displaystyle {\tilde {T}}}$ definida em ${\displaystyle X}$, com imagem em ${\displaystyle l_{\infty }}$, que satisfaz ${\displaystyle {\tilde {T}}(x)=T(x)}$ para todo ${\displaystyle x\in Z}$ e ${\displaystyle \|{\tilde {T}}\|=\|T\|}$.